Номер 1, страница 348 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 63. Решение задач о парах. Глава 9. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Молекулярная физика и термодинамика - номер 1, страница 348.

Условие.

1. Для получения воды в пустыне предложен следующий способ: днём воздухом заполняют некоторый сосуд, а ночью содержимое сосуда изохорически охлаждают. При этом часть водяных паров конденсируется. Какой объём $V$ воздуха следует охладить, чтобы получить $v = 2 \, \text{л}$ воды, если днём температура воздуха $t_1 = 50°C$ и влажность воздуха $\varphi = 30 \, \%$, а ночью воздух охлаждается до температуры $t_2 = 0°C$? Давление насыщенных паров воды днём $p_{\text{H}_1} = 12,3 \, \text{кПа}$, а ночью $p_{\text{H}_2} = 4,6 \, \text{мм рт. ст.}$

Решение.

Дано:

Объём воды, $v = 2$ л

Температура днём, $t₁ = 50$ °C

Влажность днём, $φ = 30$ %

Температура ночью, $t₂ = 0$ °C

Давление насыщенных паров днём, $p_{н1} = 12,3$ кПа

Давление насыщенных паров ночью, $p_{н2} = 4,6$ мм рт. ст.

Молярная масса воды, $M = 18$ г/моль

Плотность воды, $ρ_в = 1000$ кг/м³

Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$v = 2 \cdot 10^{-3}$ м³

$T₁ = 50 + 273 = 323$ К

$φ = 0,3$

$T₂ = 0 + 273 = 273$ К

$p_{н1} = 12,3 \cdot 10^3$ Па

$p_{н2} = 4,6 \cdot 133,3$ Па $\approx 613,2$ Па

$M = 0,018$ кг/моль

Найти:

$V$ - ?

Решение:

Масса сконденсировавшейся воды $m_в$ равна разности масс водяного пара, содержащегося в объёме воздуха $V$ днём ($m_1$) и ночью ($m_2$).

$m_в = m_1 - m_2$

Массу сконденсировавшейся воды можно найти через её объём $v$ и плотность $ρ_в$:

$m_в = ρ_в \cdot v$

Массу водяного пара в обоих случаях найдём из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT \implies m = \frac{pVM}{RT}$

1. Днём (состояние 1). Относительная влажность воздуха $φ$ определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_1$ к давлению насыщенного пара $p_{н1}$ при той же температуре $T_1$.

$φ = \frac{p_1}{p_{н1}}$

Отсюда парциальное давление пара днём: $p_1 = φ \cdot p_{н1}$.

Тогда масса водяного пара в воздухе днём равна:

$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T_1} = \frac{φ p_{н1} V M}{R T_1}$

2. Ночью (состояние 2). При охлаждении воздуха до температуры $T_2$ часть пара конденсируется. Это означает, что оставшийся в воздухе пар является насыщенным. Его парциальное давление $p_2$ равно давлению насыщенного пара при температуре $T_2$.

$p_2 = p_{н2}$

Масса водяного пара в воздухе ночью равна:

$m_2 = \frac{p_2 V M}{R T_2} = \frac{p_{н2} V M}{R T_2}$

Теперь объединим все уравнения:

$ρ_в v = m_1 - m_2 = \frac{φ p_{н1} V M}{R T_1} - \frac{p_{н2} V M}{R T_2}$

Вынесем общие множители за скобку:

$ρ_в v = \frac{V M}{R} \left( \frac{φ p_{н1}}{T_1} - \frac{p_{н2}}{T_2} \right)$

Выразим из этого уравнения искомый объём воздуха $V$:

$V = \frac{ρ_в v R}{M \left( \frac{φ p_{н1}}{T_1} - \frac{p_{н2}}{T_2} \right)}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$V = \frac{1000 \frac{кг}{м³} \cdot 2 \cdot 10^{-3} м³ \cdot 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}}{0,018 \frac{кг}{моль} \left( \frac{0,3 \cdot 12,3 \cdot 10^3 Па}{323 К} - \frac{613,2 Па}{273 К} \right)}$

$V = \frac{16,62}{0,018 \left( \frac{3690}{323} - \frac{613,2}{273} \right)} = \frac{16,62}{0,018 \left( 11,424 - 2,246 \right)}$

$V = \frac{16,62}{0,018 \cdot 9,178} \approx \frac{16,62}{0,1652} \approx 100,6$ м³

Ответ: Чтобы получить 2 л воды, следует охладить объём воздуха $V \approx 100,6$ м³.