Номер 2, страница 348 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 9. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Параграф 63. Решение задач о парах. Упражнения - номер 2, страница 348.

Условие.

2. На $p – V$-диаграмме (рис. 245) показана экспериментально полученная изотерма влажного воздуха. Определите отношение массы сухого воздуха к массе паров воды в точке 1. Постоянные величины $V_0$ и $p_0$ известны. Молярную массу воздуха считайте равной $M = 29 \text{ г/моль}$.

Рис. 245

Решение.

Дано:

Процесс изотермический, $T = const$
График зависимости $p/p_0$ от $V/V_0$
Точка 1: $p_1 = 2p_0, V_1 = 3V_0$
Точка 2: $p_2 = 3p_0, V_2 = 2V_0$
Точка 3: $p_3 = 4p_0, V_3 = V_0$
Молярная масса воздуха $M_{в} = 29$ г/моль

$M_{в} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Молярная масса водяного пара (воды H₂O) $M_{п} = 18$ г/моль = $18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$\frac{m_в}{m_п}$ в точке 1.

Решение:

Влажный воздух представляет собой смесь сухого воздуха и водяного пара. По закону Дальтона, общее давление смеси равно сумме парциальных давлений ее компонентов:

$p = p_в + p_п$

где $p_в$ - парциальное давление сухого воздуха, а $p_п$ - парциальное давление водяного пара.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для сухого воздуха и водяного пара в точке 1:

$p_{в1}V_1 = \frac{m_в}{M_в}RT$

$p_{п1}V_1 = \frac{m_п}{M_п}RT$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\frac{p_{в1}}{p_{п1}} = \frac{m_в}{m_п} \frac{M_п}{M_в}$

Отсюда искомое отношение масс:

$\frac{m_в}{m_п} = \frac{p_{в1}}{p_{п1}} \frac{M_в}{M_п}$

Чтобы найти это отношение, нам необходимо определить парциальные давления воздуха $p_{в1}$ и пара $p_{п1}$ в точке 1.

Проанализируем график. На участке 1-2 произведение $pV$ постоянно:

$p_1V_1 = (2p_0)(3V_0) = 6p_0V_0$

$p_2V_2 = (3p_0)(2V_0) = 6p_0V_0$

Это означает, что на этом участке масса смеси газов не меняется, и водяной пар является ненасыщенным.

На участке 2-3 произведение $pV$ изменяется:

$p_3V_3 = (4p_0)(V_0) = 4p_0V_0 \neq p_2V_2$

Излом на графике в точке 2 означает, что в этой точке пар становится насыщенным, и при дальнейшем сжатии (участок 2-3) происходит конденсация пара. Давление насыщенного пара $p_{нп}$ при постоянной температуре остается постоянным.

Таким образом, на участке 2-3 парциальное давление пара постоянно и равно давлению насыщенного пара: $p_{п2} = p_{п3} = p_{нп}$.

Масса сухого воздуха в процессе не меняется, поэтому для него выполняется закон Бойля-Мариотта: $p_вV = const$. Для участков 2 и 3:

$p_{в2}V_2 = p_{в3}V_3$

Используя закон Дальтона: $p_{в2} = p_2 - p_{п2} = p_2 - p_{нп}$ и $p_{в3} = p_3 - p_{п3} = p_3 - p_{нп}$.

Подставим в уравнение выше:

$(p_2 - p_{нп})V_2 = (p_3 - p_{нп})V_3$

Выразим $p_{нп}$:

$p_2V_2 - p_{нп}V_2 = p_3V_3 - p_{нп}V_3$

$p_{нп}(V_2 - V_3) = p_2V_2 - p_3V_3$

$p_{нп} = \frac{p_2V_2 - p_3V_3}{V_2 - V_3}$

Подставим значения из графика:

$p_{нп} = \frac{(3p_0)(2V_0) - (4p_0)(V_0)}{2V_0 - V_0} = \frac{6p_0V_0 - 4p_0V_0}{V_0} = 2p_0$

Теперь найдем парциальные давления в точке 1. На участке 1-2 масса пара постоянна, поэтому для него также выполняется закон Бойля-Мариотта:

$p_{п1}V_1 = p_{п2}V_2$

Так как в точке 2 пар насыщенный, $p_{п2} = p_{нп} = 2p_0$.

$p_{п1}(3V_0) = (2p_0)(2V_0)$

$p_{п1} = \frac{4p_0V_0}{3V_0} = \frac{4}{3}p_0$

Теперь найдем парциальное давление сухого воздуха в точке 1 из закона Дальтона:

$p_{в1} = p_1 - p_{п1} = 2p_0 - \frac{4}{3}p_0 = \frac{6p_0 - 4p_0}{3} = \frac{2}{3}p_0$

Наконец, вычислим искомое отношение масс:

$\frac{m_в}{m_п} = \frac{p_{в1}}{p_{п1}} \frac{M_в}{M_п} = \frac{\frac{2}{3}p_0}{\frac{4}{3}p_0} \cdot \frac{29 \text{ г/моль}}{18 \text{ г/моль}} = \frac{2}{4} \cdot \frac{29}{18} = \frac{1}{2} \cdot \frac{29}{18} = \frac{29}{36}$

Ответ: Отношение массы сухого воздуха к массе паров воды равно $\frac{29}{36}$.