Номер 3, страница 348 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 63. Решение задач о парах. Глава 9. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Молекулярная физика и термодинамика - номер 3, страница 348.

Условие.

3. В цилиндре под поршнем находятся воздух, водяные пары и вода. Число молей воздуха в $n=3$ раза превышает число молей водяного пара, а масса воды равна массе водяных паров. Объём смеси изотермически увеличивают, пока вся вода не испарится. Определите отношение давлений в цилиндре в конечном и начальном состояниях.

Решение.

Дано:

$ \frac{\nu_{воз}}{\nu_{пара1}} = n = 3 $

$ m_{воды} = m_{пара1} $

$ T = \text{const} $

Найти:

$ \frac{P_2}{P_1} $

Решение:

В начальном состоянии в цилиндре находятся воздух, вода и водяной пар. Поскольку вода и пар находятся в равновесии, пар является насыщенным. Давление в цилиндре в начальном состоянии $P_1$ равно сумме парциального давления воздуха $P_{воз1}$ и давления насыщенного пара $P_{нас}$ при данной температуре $T$ (согласно закону Дальтона):

$ P_1 = P_{воз1} + P_{нас} $

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха и для водяного пара в начальном состоянии (объем $V_1$, температура $T$):

$ P_{воз1}V_1 = \nu_{воз}RT $

$ P_{нас}V_1 = \nu_{пара1}RT $

Разделив первое уравнение на второе, получим отношение парциальных давлений:

$ \frac{P_{воз1}}{P_{нас}} = \frac{\nu_{воз}}{\nu_{пара1}} = n $

Отсюда $ P_{воз1} = n \cdot P_{нас} $.

Подставим это выражение в формулу для начального давления $P_1$:

$ P_1 = n \cdot P_{нас} + P_{нас} = (n+1)P_{нас} $

Процесс расширения происходит изотермически, пока вся вода не испарится. В конечном состоянии (объем $V_2$, температура $T$) в цилиндре находятся воздух и водяной пар. В момент, когда испарилась последняя капля воды, пар все еще является насыщенным, поэтому его давление равно $P_{нас}$.

Масса воды была равна массе пара, $m_{воды} = m_{пара1}$. Так как молярная масса воды $M$ одинакова, то и число молей воды было равно числу молей пара: $ \nu_{воды} = \nu_{пара1} $.В конечном состоянии вся вода испарилась, поэтому общее число молей пара стало:

$ \nu_{пара2} = \nu_{пара1} + \nu_{воды} = 2\nu_{пара1} $

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для пара в начальном и конечном состояниях:

$ P_{нас}V_1 = \nu_{пара1}RT $

$ P_{нас}V_2 = \nu_{пара2}RT = 2\nu_{пара1}RT $

Разделив второе уравнение на первое, найдем, как изменился объем:

$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{2\nu_{пара1}RT}{\nu_{пара1}RT} = 2 $, следовательно, $ V_2 = 2V_1 $.

Воздух в цилиндре также изотермически расширился от объема $V_1$ до объема $V_2$. По закону Бойля-Мариотта:

$ P_{воз1}V_1 = P_{воз2}V_2 $

$ P_{воз2} = P_{воз1} \frac{V_1}{V_2} = (n \cdot P_{нас}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}P_{нас} $

Давление в цилиндре в конечном состоянии $P_2$ равно сумме парциального давления воздуха $P_{воз2}$ и давления насыщенного пара $P_{нас}$:

$ P_2 = P_{воз2} + P_{нас} = \frac{n}{2}P_{нас} + P_{нас} = (\frac{n}{2} + 1)P_{нас} $

Теперь найдем искомое отношение давлений $ \frac{P_2}{P_1} $:

$ \frac{P_2}{P_1} = \frac{(\frac{n}{2} + 1)P_{нас}}{(n+1)P_{нас}} = \frac{\frac{n+2}{2}}{n+1} = \frac{n+2}{2(n+1)} $

Подставим значение $ n = 3 $:

$ \frac{P_2}{P_1} = \frac{3+2}{2(3+1)} = \frac{5}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} $

Ответ: $ \frac{5}{8} $.