Номер 4, страница 419 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 74. Проводники в постоянном электрическом поле. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 4, страница 419.

Условие.

4. Определите заряды, индуцированные на внутренней и внешней поверхностях металлического сферического слоя из задачи 3 этого параграфа. (Подсказка: воспользуйтесь теоремой Гаусса для трёх сфер, радиусы которых удовлетворяют неравенствам: $R_1 < r < R_2, R_2 < r < R_3 \text{ и } r > R_3$.)

Решение.

Дано:

Поскольку условия задачи 3 не приведены, будем исходить из стандартной постановки: в центре системы находится заряд $q_1$ (точечный или на сфере радиусом $R_1$), который окружен концентрическим незаряженным или заряженным металлическим сферическим слоем. Внутренний радиус слоя – $R_2$, внешний – $R_3$ ($R_1 < R_2 < R_3$). Полный (суммарный) заряд этого сферического слоя равен $Q$.

Найти:

Индуцированный заряд на внутренней поверхности слоя — $q_{вн}$.

Индуцированный заряд на внешней поверхности слоя — $q_{внеш}$.

Решение:

Для определения индуцированных зарядов воспользуемся теоремой Гаусса для электростатического поля и свойством поля внутри проводника в состоянии равновесия.

Заряд, индуцированный на внутренней поверхности

Рассмотрим замкнутую сферическую поверхность (поверхность Гаусса) радиусом $r$ так, чтобы она проходила внутри металлического слоя, то есть $R_2 < r < R_3$.

В состоянии электростатического равновесия напряженность электрического поля $E$ внутри материала проводника равна нулю. Следовательно, в любой точке на выбранной нами гауссовой поверхности $E = 0$.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду $q_{внутри}$, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную $\varepsilon_0$:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{внутри}}{\varepsilon_0}$

Поскольку $E=0$ на всей поверхности, то и поток через нее равен нулю:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0$

Это означает, что и суммарный заряд внутри гауссовой поверхности равен нулю:

$q_{внутри} = 0$

Заряд $q_{внутри}$ состоит из центрального заряда $q_1$ и заряда $q_{вн}$, который индуцируется на внутренней поверхности металлического слоя (сфере радиусом $R_2$). Таким образом:

$q_{внутри} = q_1 + q_{вн}$

Приравнивая это выражение к нулю, получаем:

$q_1 + q_{вн} = 0$

Отсюда находим искомый заряд на внутренней поверхности:

$q_{вн} = -q_1$

Ответ: Заряд, индуцированный на внутренней поверхности металлического сферического слоя, равен $-q_1$.

Заряд, индуцированный на внешней поверхности

Полный заряд металлического слоя $Q$ по условию является известной величиной. Этот заряд распределяется между внутренней и внешней поверхностями слоя. Согласно закону сохранения заряда:

$Q = q_{вн} + q_{внеш}$

Мы уже нашли заряд на внутренней поверхности: $q_{вн} = -q_1$. Подставим это значение в уравнение для полного заряда:

$Q = (-q_1) + q_{внеш}$

Теперь выразим из этого уравнения заряд на внешней поверхности $q_{внеш}$:

$q_{внеш} = Q + q_1$

Ответ: Заряд, индуцированный на внешней поверхности металлического сферического слоя, равен $Q + q_1$.