Номер 6, страница 419 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 74. Проводники в постоянном электрическом поле. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 6, страница 419.

Условие.

*6. Выполните упр. 3 из § 73. По аналогии с предыдущим упражнением выведите выражение для расчёта второй космической скорости для однородной шарообразной планеты массы $M$ и радиусом $R$. Рассчитайте вторую космическую скорость для Земли.

Решение.

Вывод выражения для расчёта второй космической скорости

Вторая космическая скорость (или скорость убегания) $v_2$ — это минимальная начальная скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно преодолело гравитационное притяжение планеты и смогло удалиться на бесконечно большое расстояние.

Для вывода формулы воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Согласно этому закону, полная механическая энергия тела в замкнутой системе консервативных сил остается постоянной. Гравитационное поле является консервативным.

Рассмотрим тело массой $m$, запускаемое с поверхности однородной шарообразной планеты массой $M$ и радиусом $R$.

1. Начальная полная энергия тела на поверхности планеты ($E_{нач}$) складывается из его кинетической энергии ($E_к$) и потенциальной энергии ($E_п$) в гравитационном поле планеты:

$E_{нач} = E_к + E_п = \frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия отрицательна и принимается равной нулю на бесконечности.

2. Конечная полная энергия тела ($E_{кон}$) на бесконечном удалении от планеты. По определению, вторая космическая скорость является минимальной, поэтому мы предполагаем, что на бесконечности скорость тела станет равной нулю ($v_{кон} = 0$), а значит, и его кинетическая энергия будет равна нулю. Потенциальная энергия на бесконечности также равна нулю. Таким образом:

$E_{кон} = 0$

3. Приравниваем начальную и конечную энергию согласно закону сохранения энергии:

$E_{нач} = E_{кон}$

$\frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R} = 0$

4. Решаем уравнение относительно $v_2$:

$\frac{mv_2^2}{2} = G\frac{Mm}{R}$

Сокращаем массу тела $m$:

$\frac{v_2^2}{2} = \frac{GM}{R}$

$v_2^2 = \frac{2GM}{R}$

Итоговое выражение для второй космической скорости:

$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Отметим, что первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите у поверхности планеты) равна $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$. Таким образом, вторая космическая скорость связана с первой соотношением $v_2 = v_1\sqrt{2}$.

Ответ: Выражение для расчёта второй космической скорости для однородной шарообразной планеты массы $M$ и радиусом $R$ имеет вид $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.

Расчёт второй космической скорости для Земли

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Земли $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v_{2З}$

Решение:

Воспользуемся выведенной формулой для второй космической скорости:

$v_{2З} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}$

Подставим числовые значения констант для Земли:

$v_{2З} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

Выполним вычисления:

$v_{2З} \approx \sqrt{\frac{7.964 \cdot 10^{13}}{6.4 \cdot 10^6}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{1.244 \cdot 10^8} \frac{м}{с} \approx 11155 \frac{м}{с}$

Переведем скорость в более удобные единицы — километры в секунду:

$11155 \frac{м}{с} \approx 11.2 \frac{км}{с}$

Ответ: Вторая космическая скорость для Земли составляет примерно $11.2 \frac{км}{с}$.