Номер 5, страница 419 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 74. Проводники в постоянном электрическом поле. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 5, страница 419.

Условие.

*5. Выведите выражение для расчёта модуля скорости, которую должен иметь электрон вблизи поверхности положительно заряженного до заряда $Q$ шара радиусом $R$, чтобы он смог удалиться от этого шара на бесконечно большое расстояние.

Решение.

Дано:

Заряд шара: $Q$ (положительный, $Q>0$)

Радиус шара: $R$

Заряд электрона: $q_e = -e$, где $e$ - элементарный заряд ($e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл)

Масса электрона: $m_e$

Коэффициент в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Найти:

Модуль скорости электрона $v$.

Решение:

Чтобы электрон смог удалиться на бесконечно большое расстояние от положительно заряженного шара, его начальная кинетическая энергия должна быть достаточной для преодоления работы сил электростатического притяжения. Это означает, что его полная начальная энергия (сумма кинетической и потенциальной) должна быть не меньше, чем его полная энергия на бесконечности. Минимально необходимая скорость соответствует случаю, когда на бесконечности скорость электрона становится равной нулю, и, следовательно, его полная энергия там равна нулю.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Электростатическая сила является консервативной, поэтому полная механическая энергия системы "электрон-шар" сохраняется.

Запишем закон сохранения энергии: $E_1 = E_2$, где $E_1$ - полная энергия электрона вблизи поверхности шара, а $E_2$ - его полная энергия на бесконечном удалении.

Полная энергия складывается из кинетической ($K$) и потенциальной ($U$) энергий: $E = K + U$.

1. Начальное состояние (электрон находится вблизи поверхности шара, то есть на расстоянии $R$ от его центра):

Кинетическая энергия электрона: $K_1 = \frac{m_e v^2}{2}$.

Потенциальная энергия электрона в поле шара. Потенциал электрического поля, создаваемого шаром на его поверхности, равен $\phi_1 = k\frac{Q}{R}$.

Тогда потенциальная энергия электрона с зарядом $q_e = -e$ в этом поле равна: $U_1 = q_e \phi_1 = (-e) \cdot k\frac{Q}{R} = -k\frac{eQ}{R}$.

Таким образом, полная начальная энергия электрона: $E_1 = K_1 + U_1 = \frac{m_e v^2}{2} - k\frac{eQ}{R}$.

2. Конечное состояние (электрон на бесконечно большом расстоянии от шара, $r \to \infty$):

Как было сказано, минимальная начальная скорость $v$ соответствует тому, что на бесконечности скорость электрона обращается в ноль. Следовательно, его конечная кинетическая энергия $K_2 = 0$.

Потенциал поля на бесконечности равен нулю: $\phi_2 = \lim_{r\to\infty} k\frac{Q}{r} = 0$.

Соответственно, потенциальная энергия электрона на бесконечности также равна нулю: $U_2 = 0$.

Полная конечная энергия: $E_2 = K_2 + U_2 = 0 + 0 = 0$.

Приравниваем начальную и конечную энергии согласно закону сохранения:

$E_1 = E_2$

$\frac{m_e v^2}{2} - k\frac{eQ}{R} = 0$

Теперь выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$\frac{m_e v^2}{2} = k\frac{eQ}{R}$

$v^2 = \frac{2keQ}{m_e R}$

$v = \sqrt{\frac{2keQ}{m_e R}}$

Подставив выражение для коэффициента $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получим альтернативную форму записи:

$v = \sqrt{\frac{2eQ}{4\pi\epsilon_0 m_e R}} = \sqrt{\frac{eQ}{2\pi\epsilon_0 m_e R}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{2keQ}{m_e R}}$ или, что то же самое, $v = \sqrt{\frac{eQ}{2\pi\epsilon_0 m_e R}}$.