Номер 3, страница 419 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 74. Проводники в постоянном электрическом поле. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 3, страница 419.

Условие.

3. Заряд уединённого металлического шарика радиусом $r$ равен $Q$. Шарик окружают тонкой концентричной ему металлической сферой радиусом $R$. Определите разность потенциалов $\Delta \varphi$ между шариком и сферой после заземления этой сферы.

Решение.

Дано:

Заряд металлического шарика: $Q$

Радиус шарика: $r$

Радиус концентрической металлической сферы: $R$

Внешняя сфера заземлена

Найти:

Разность потенциалов $\Delta\phi$

Решение:

Разность потенциалов $\Delta\phi$ между шариком и сферой определяется как разница их потенциалов: $\Delta\phi = \phi_r - \phi_R$, где $\phi_r$ — потенциал шарика радиусом $r$, а $\phi_R$ — потенциал сферы радиусом $R$.

Поскольку внешняя сфера заземлена, её потенциал равен потенциалу Земли, который принято считать равным нулю. Таким образом, $\phi_R = 0$.

Теперь определим потенциал внутреннего шарика $\phi_r$. Этот потенциал создается двумя зарядами: собственным зарядом шарика $Q$ и зарядом, индуцированным на внешней сфере.

Когда заряженный шарик с зарядом $Q$ помещают внутрь проводящей сферы, на её внутренней поверхности индуцируется заряд $-Q$. Поскольку сфера заземлена, её общий потенциал должен быть равен нулю. Потенциал на поверхности внешней сферы складывается из потенциала от заряда $Q$ внутреннего шарика и потенциала от её собственного заряда $Q_{сферы}$:

$\phi_R = k\frac{Q}{R} + k\frac{Q_{сферы}}{R} = 0$

Из этого уравнения следует, что $Q_{сферы} = -Q$. Этот заряд распределяется по внутренней поверхности заземленной сферы.

Потенциал на поверхности внутреннего шарика $\phi_r$ является суммой потенциала от его собственного заряда $Q$ и потенциала, создаваемого зарядом $-Q$ на внешней сфере.

1. Потенциал от собственного заряда $Q$ на поверхности шарика: $\phi_1 = k\frac{Q}{r}$.

2. Потенциал, создаваемый зарядом $-Q$ внешней сферы радиусом $R$. В любой точке внутри этой сферы (в том числе и на поверхности внутреннего шарика) этот потенциал постоянен и равен потенциалу, который этот заряд создает на поверхности самой сферы: $\phi_2 = k\frac{-Q}{R}$.

Суммарный потенциал внутреннего шарика:

$\phi_r = \phi_1 + \phi_2 = k\frac{Q}{r} - k\frac{Q}{R} = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$

Теперь мы можем найти разность потенциалов:

$\Delta\phi = \phi_r - \phi_R = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right) - 0 = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$

Где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — электростатическая постоянная в СИ.

Ответ: $\Delta\phi = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$