Номер 28.1, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

28.1. Сферическую каплю ртути радиусом 3 мм разделили на две одинаковые капли. Какую работу пришлось при этом совершить для увеличения энергии поверхностного слоя? $\sigma_{\text{Hg}} = 0,465 \text{ Дж/м}^2$.

28.1. Дано:

Радиус исходной капли ртути, $R = 3 \text{ мм}$
Количество капель после разделения, $n = 2$
Коэффициент поверхностного натяжения ртути, $\sigma_{Hg} = 0,465 \text{ Дж/м}^2$

$R = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Работу, совершенную для разделения капли, $\text{A}$.

Решение:

Работа, совершаемая для увеличения площади поверхности жидкости, равна изменению поверхностной энергии этой жидкости. Поверхностная энергия $\text{E}$ связана с площадью поверхности $\text{S}$ и коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$ соотношением $E = \sigma S$.

Таким образом, работа $\text{A}$ равна:

$A = \Delta E = E_{кон} - E_{нач} = \sigma S_{кон} - \sigma S_{нач} = \sigma (S_{кон} - S_{нач})$

где $S_{нач}$ — площадь поверхности исходной капли, а $S_{кон}$ — суммарная площадь поверхности двух образовавшихся капель.

Исходная капля имеет сферическую форму. Её площадь поверхности $S_{нач}$ и объём $V_{нач}$ равны:

$S_{нач} = 4\pi R^2$

$V_{нач} = \frac{4}{3}\pi R^3$

После разделения образуются две одинаковые сферические капли радиусом $\text{r}$. Суммарная площадь их поверхности $S_{кон}$ и суммарный объём $V_{кон}$ равны:

$S_{кон} = 2 \cdot (4\pi r^2) = 8\pi r^2$

$V_{кон} = 2 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3)$

При разделении капли объём ртути сохраняется, поэтому $V_{нач} = V_{кон}$:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

Отсюда находим связь между радиусами $\text{R}$ и $\text{r}$:

$R^3 = 2r^3 \implies r^3 = \frac{R^3}{2} \implies r = \frac{R}{\sqrt[3]{2}}$

Теперь можем выразить суммарную площадь поверхности двух новых капель через радиус исходной капли $\text{R}$. Существует два способа:

1. Выразить $S_{кон}$ через $S_{нач}$: $S_{кон} = 8\pi r^2 = 8\pi \left(\frac{R}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = \frac{8\pi R^2}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{8\pi R^2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2 \cdot 4\pi R^2}{2^{2/3}} = 2^{1/3} \cdot 4\pi R^2 = \sqrt[3]{2} \cdot S_{нач}$

Тогда изменение площади поверхности $\Delta S$ равно:

$\Delta S = S_{кон} - S_{нач} = \sqrt[3]{2} \cdot S_{нач} - S_{нач} = S_{нач} (\sqrt[3]{2} - 1) = 4\pi R^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

Работа, соответственно, равна:

$A = \sigma \Delta S = \sigma \cdot 4\pi R^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

Подставим числовые значения:

$A = 0,465 \frac{Дж}{м^2} \cdot 4\pi (3 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

$A \approx 0,465 \cdot 4 \cdot 3,1416 \cdot (9 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2) \cdot (1,2599 - 1)$

$A \approx 5,843 \cdot 9 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2599 \text{ Дж} \approx 52,587 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2599 \text{ Дж} \approx 13,667 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Результат можно округлить и выразить в микроджоулях:

$A \approx 13,7 \text{ мкДж}$

Ответ: $A \approx 13,7 \text{ мкДж}$.