Номер 28.3, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

28.3. Две малые капли воды одинакового радиуса при соприкосновении сливаются в одну. Как изменится площадь поверхности образовавшейся капли по сравнению с первоначальной площадью поверхности обеих капель? Почему происходит слияние капель?

Как изменится площадь поверхности образовавшейся капли по сравнению с первоначальной площадью поверхности обеих капель?

Дано:

Радиус двух начальных капель: $\text{r}$
Количество капель: $n = 2$

Найти:

Отношение конечной площади поверхности к начальной, $\frac{S_{кон}}{S_{нач}}$

Решение:

Будем считать капли идеальными сферами. Объем одной начальной капли равен $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$. Площадь поверхности одной начальной капли равна $S_1 = 4\pi r^2$.
Поскольку капель две, их суммарный начальный объем и суммарная начальная площадь поверхности равны:
$V_{нач} = 2 \cdot V_1 = 2 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$
$S_{нач} = 2 \cdot S_1 = 2 \cdot 4\pi r^2 = 8\pi r^2$

При слиянии двух капель в одну их суммарный объем сохраняется. Пусть $\text{R}$ — радиус образовавшейся большой капли. Ее объем равен:
$V_{кон} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Приравниваем начальный и конечный объемы:
$V_{кон} = V_{нач}$
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$
$R^3 = 2r^3$
Отсюда находим радиус большой капли:
$R = \sqrt[3]{2}r$

Теперь найдем площадь поверхности образовавшейся капли:
$S_{кон} = 4\pi R^2 = 4\pi (\sqrt[3]{2}r)^2 = 4\pi \cdot 2^{2/3} r^2$

Найдем отношение конечной площади поверхности к начальной:
$\frac{S_{кон}}{S_{нач}} = \frac{4\pi \cdot 2^{2/3} r^2}{8\pi r^2} = \frac{4 \cdot 2^{2/3}}{8} = \frac{2^{2/3}}{2} = 2^{(2/3-1)} = 2^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Поскольку $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$, то отношение $\frac{S_{кон}}{S_{нач}} \approx \frac{1}{1.26} \approx 0.794$.
Это означает, что конечная площадь поверхности составляет примерно 79.4% от начальной, то есть она уменьшается.

Ответ: Площадь поверхности образовавшейся капли уменьшится по сравнению с суммарной площадью поверхности двух первоначальных капель в $\sqrt[3]{2}$ раз.

Почему происходит слияние капель?

Слияние капель происходит из-за действия сил поверхностного натяжения. Любая жидкость стремится принять форму с минимальной площадью поверхности при данном объеме, так как это соответствует состоянию с наименьшей поверхностной энергией. Поверхностная энергия пропорциональна площади поверхности: $E = \sigma S$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения.
Как было показано в предыдущем пункте, при слиянии двух капель в одну общая площадь их поверхности уменьшается. Уменьшение площади поверхности приводит к уменьшению полной поверхностной энергии системы. Системы в природе всегда стремятся к состоянию с минимальной потенциальной энергией. Поэтому слияние капель является энергетически выгодным процессом и происходит самопроизвольно.

Ответ: Слияние капель происходит потому, что это приводит к уменьшению общей площади поверхности жидкости, а следовательно, к уменьшению ее поверхностной энергии. Системы самопроизвольно переходят в состояние с меньшей энергией.