Номер 28.2, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

28.2. Какая работа совершается при перемещении молекулы воды из глубины на поверхность? Диаметр молекулы воды равен примерно $4 \cdot 10^{-10}$ м. Определите отношение этой работы к средней кинетической энергии молекулы при комнатной температуре. $\sigma_{H_2O} = 0,073 \text{ Дж/м}^2$.

Дано:

Диаметр молекулы воды, $d = 4 \cdot 10^{-10}$ м

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma_{H_2O} = 0,073$ Дж/м²

Комнатная температура (примем $t = 20$ °C)

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К (справочное значение)

Перевод в СИ:

Температура в кельвинах: $T = t + 273,15 = 20 + 273,15 = 293,15$ К. Для расчетов будем использовать значение $T \approx 293$ К.

Все остальные величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. Работу $\text{A}$ по перемещению молекулы на поверхность.

2. Отношение работы к средней кинетической энергии, $\frac{A}{E_k}$.

Решение:

Какая работа совершается при перемещении молекулы воды из глубины на поверхность?

Работа $\text{A}$, совершаемая при перемещении молекулы из объема жидкости на ее поверхность, идет на увеличение поверхностной энергии. Эта работа равна произведению коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ на приращение площади свободной поверхности жидкости $\Delta S$:

$A = \sigma \cdot \Delta S$

При выходе одной молекулы на поверхность, площадь поверхности увеличивается на величину, сопоставимую с площадью, занимаемой одной молекулой. В качестве простой модели оценим эту площадь как площадь квадрата со стороной, равной диаметру молекулы $\text{d}$.

$\Delta S \approx d^2$

Тогда работа, совершаемая для вывода одной молекулы на поверхность, равна:

$A = \sigma \cdot d^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A = 0,073 \frac{Дж}{м^2} \cdot (4 \cdot 10^{-10} м)^2 = 0,073 \cdot 16 \cdot 10^{-20} Дж = 1,168 \cdot 10^{-20}$ Дж.

Ответ: работа, совершаемая при перемещении молекулы воды на поверхность, составляет $1,168 \cdot 10^{-20}$ Дж.

Определите отношение этой работы к средней кинетической энергии молекулы при комнатной температуре.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы (в данном случае, молекулы воды) определяется формулой из молекулярно-кинетической теории:

$E_k = \frac{3}{2}kT$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{T}$ — абсолютная температура. Примем комнатную температуру равной $T = 293$ К ($\text{20}$ °C).

Вычислим среднюю кинетическую энергию:

$E_k = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{Дж}{К} \cdot 293 К = 2,07 \cdot 10^{-23} \cdot 293 Дж \approx 6,065 \cdot 10^{-21}$ Дж.

Теперь найдем отношение вычисленной работы $\text{A}$ к средней кинетической энергии $E_k$:

$\frac{A}{E_k} = \frac{1,168 \cdot 10^{-20} Дж}{6,065 \cdot 10^{-21} Дж} = \frac{11,68 \cdot 10^{-21} Дж}{6,065 \cdot 10^{-21} Дж} \approx 1,9257$

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точным данным значением $\sigma$), получаем:

$\frac{A}{E_k} \approx 1,9$

Ответ: отношение работы к средней кинетической энергии молекулы составляет примерно 1,9.