Номер 28.4, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

28.4. Капля ртути во время падения имеет форму шара радиусом 5 мм. Падая в кювету, она дробится на 8 примерно одинаковых капель. Вычислите:

а) отношение поверхностной энергии капли к её потенциальной энергии в момент соприкосновения с кюветой;

б) отношение поверхностной энергии одной из получившихся при дроблении малых капель к её потенциальной энергии.

Дано:

Радиус большой капли, $R = 5 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Количество малых капель, $N = 8$

Плотность ртути (справочное значение), $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$

Коэффициент поверхностного натяжения ртути (справочное значение), $\sigma \approx 0.465 \text{ Н/м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $k_a = \frac{W_{пов}}{W_{п}}$ - отношение поверхностной энергии начальной капли к ее потенциальной энергии.

б) $k_b = \frac{W'_{пов}}{W'_{п}}$ - отношение поверхностной энергии одной малой капли к ее потенциальной энергии.

Решение:

Поверхностная энергия капли шарообразной формы вычисляется по формуле $W_{пов} = \sigma S$, где $\text{S}$ - площадь поверхности шара.

Под потенциальной энергией капли в момент соприкосновения с поверхностью будем понимать потенциальную энергию ее центра масс относительно точки касания. Для шара радиусом $\text{R}$ центр масс находится на высоте $h=R$ от точки касания. Таким образом, потенциальная энергия капли: $W_п = mgh = mgR$.

Массу капли найдем через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$: $m = \rho V$.

а) Вычислим отношение для большой капли.

Площадь поверхности большой капли: $S = 4\pi R^2$.

Ее поверхностная энергия: $W_{пов} = \sigma S = 4\pi\sigma R^2$.

Объем большой капли: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Масса большой капли: $m = \rho V = \frac{4}{3}\pi\rho R^3$.

Потенциальная энергия большой капли: $W_п = mgR = (\frac{4}{3}\pi\rho R^3)gR = \frac{4}{3}\pi\rho g R^4$.

Теперь найдем искомое отношение $k_a$:

$k_a = \frac{W_{пов}}{W_{п}} = \frac{4\pi\sigma R^2}{\frac{4}{3}\pi\rho g R^4} = \frac{3\sigma}{\rho g R^2}$.

Подставим числовые значения:

$k_a = \frac{3 \cdot 0.465 \text{ Н/м}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} = \frac{1.395}{13600 \cdot 9.8 \cdot 25 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{1.395}{3.332} \approx 0.4187$

Ответ: $k_a \approx 0.42$.

б) Вычислим отношение для одной из малых капель.

При дроблении большой капли на $N=8$ одинаковых малых капель их суммарный объем равен объему большой капли. Пусть $\text{r}$ - радиус малой капли.

$V = N \cdot V'$, где $V'$ - объем одной малой капли.

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

$R^3 = 8r^3 \implies r = \frac{R}{2} = \frac{5 \text{ мм}}{2} = 2.5 \text{ мм} = 2.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

Отношение поверхностной энергии малой капли к ее потенциальной энергии $k_b$ вычисляется по аналогичной формуле, но с радиусом $\text{r}$:

$k_b = \frac{3\sigma}{\rho g r^2}$.

Подставим числовые значения:

$k_b = \frac{3 \cdot 0.465 \text{ Н/м}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (2.5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} = \frac{1.395}{13600 \cdot 9.8 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{1.395}{0.833} \approx 1.6747$

Можно также заметить, что $k_b = \frac{3\sigma}{\rho g (R/2)^2} = 4 \cdot \frac{3\sigma}{\rho g R^2} = 4k_a$.

$k_b = 4 \cdot 0.4187 \approx 1.6748$. Результаты совпадают.

Ответ: $k_b \approx 1.67$.