Номер 34.3, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

34.3. Одноатомный идеальный газ, взятый в количестве 2 моль, при температуре 200 К изохорно перевели в состояние, в котором давление в два раза больше первоначального, а затем изобарно — в состояние, в котором объём в два раза больше первоначального. Определите изменение внутренней энергии газа. Начертите график этого процесса в координатах $p, V$.

Дано:

Тип газа: одноатомный идеальный

Количество вещества: $ν = 2 \text{ моль}$

Начальная температура: $T_1 = 200 \text{ К}$

Процесс 1-2: изохорный ($V = const$)

Соотношение давлений в процессе 1-2: $p_2 = 2p_1$

Процесс 2-3: изобарный ($p = const$)

Соотношение объемов в процессе 2-3: $V_3 = 2V_1$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

Все представленные величины находятся в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Изменение внутренней энергии газа: $ΔU - ?$

График процесса в координатах $p, V$.

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа зависит только от изменения его температуры и вычисляется по формуле:

$ΔU = \frac{3}{2} νR(T_{конечная} - T_{начальная})$

В нашем случае процесс состоит из двух этапов, и полное изменение внутренней энергии будет разницей между энергией в конечном состоянии 3 и начальном состоянии 1.

$ΔU = U_3 - U_1 = \frac{3}{2} νR(T_3 - T_1)$

Нам известна начальная температура $T_1 = 200 \text{ К}$. Необходимо найти конечную температуру $T_3$. Для этого проанализируем каждый этап процесса.

Этап 1-2 (изохорный процесс, $V_1=V_2$):

Для изохорного процесса справедливо соотношение (закон Шарля):

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Отсюда найдем температуру в состоянии 2:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1}$

По условию $p_2 = 2p_1$, следовательно:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{2p_1}{p_1} = 2T_1 = 2 \cdot 200 \text{ К} = 400 \text{ К}$

Этап 2-3 (изобарный процесс, $p_2=p_3$):

Для изобарного процесса справедливо соотношение (закон Гей-Люссака):

$\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$

Отсюда найдем температуру в конечном состоянии 3:

$T_3 = T_2 \cdot \frac{V_3}{V_2}$

Из условия первого процесса мы знаем, что $V_2 = V_1$. По условию второго процесса $V_3 = 2V_1$. Подставим эти значения:

$T_3 = T_2 \cdot \frac{2V_1}{V_1} = 2T_2$

Так как $T_2 = 400 \text{ К}$, то:

$T_3 = 2 \cdot 400 \text{ К} = 800 \text{ К}$

Теперь, зная начальную ($T_1$) и конечную ($T_3$) температуры, мы можем рассчитать полное изменение внутренней энергии газа:

$ΔU = \frac{3}{2} νR(T_3 - T_1) = \frac{3}{2} \cdot 2 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (800 \text{ К} - 200 \text{ К})$

$ΔU = 3 \cdot 8.31 \cdot 600 = 14958 \text{ Дж} \approx 15 \text{ кДж}$

Построение графика процесса в координатах p, V:

Обозначим начальные параметры как $p_1$ и $V_1$. Тогда параметры газа в ключевых точках процесса будут следующими:

Состояние 1: $(V_1, p_1)$

Состояние 2: $V_2 = V_1$, $p_2 = 2p_1$. Координаты: $(V_1, 2p_1)$

Состояние 3: $V_3 = 2V_1$, $p_3 = p_2 = 2p_1$. Координаты: $(2V_1, 2p_1)$

График будет состоять из двух отрезков на плоскости с осями $\text{V}$ (ось абсцисс) и $\text{p}$ (ось ординат):

1. Процесс 1-2: Изохорное нагревание. На графике это вертикальный отрезок, идущий вверх от точки $(V_1, p_1)$ до точки $(V_1, 2p_1)$. Объем $V_1$ постоянен, давление увеличивается в 2 раза.

2. Процесс 2-3: Изобарное расширение. На графике это горизонтальный отрезок, идущий вправо от точки $(V_1, 2p_1)$ до точки $(2V_1, 2p_1)$. Давление $2p_1$ постоянно, объем увеличивается до $2V_1$.

Схематично график выглядит так:

 p ^ | 2p_1+-----2-------3 | | | | | +------> p_1+-----1 | +---------------------> V V_1 2V_1 

Ответ: Изменение внутренней энергии газа составляет $ΔU = 14958 \text{ Дж}$ (или примерно $15 \text{ кДж}$). График процесса в координатах $(V, p)$ представляет собой ломаную линию, состоящую из вертикального отрезка (изохорное нагревание) и следующего за ним горизонтального отрезка (изобарное расширение), как описано и показано схематически выше.