Номер 34.4, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

34.4. Азот находится в закрытом сосуде при температуре 128 К и давлении 1400 Па. Газ нагревают до температуры 10 000 К, при которой молекулы азота практически полностью распадаются на атомы. Определите давление газа в сосуде при этих условиях. Какой внутренней энергией обладает разогретый азот объёмом 1 л?

Определите давление газа в сосуде при этих условиях.

Дано:

Начальное состояние (1):
Температура $T_1 = 128$ К
Давление $p_1 = 1400$ Па
Газ - молекулярный азот ($N_2$)
Конечное состояние (2):
Температура $T_2 = 10000$ К
Газ - атомарный азот ($\text{N}$)
Сосуд закрытый, следовательно, объём постоянен ($V_1 = V_2 = V$).

Найти:

$p_2$ - давление газа в конечном состоянии.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний.
Для начального состояния (молекулярный азот $N_2$):
$p_1 V = \nu_1 R T_1$ (1)
где $\nu_1$ - количество вещества молекулярного азота, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная.
Для конечного состояния (атомарный азот $\text{N}$):
$p_2 V = \nu_2 R T_2$ (2)
где $\nu_2$ - количество вещества атомарного азота.
При нагревании до $10000$ К молекулы азота $N_2$ полностью распадаются на атомы по схеме $N_2 \rightarrow 2N$. Это означает, что из каждой молекулы образуются два атома, и количество частиц в газе удваивается. Следовательно, количество вещества также удваивается:
$\nu_2 = 2\nu_1$
Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{\nu_2 R T_2}{\nu_1 R T_1}$
Сократим объём $\text{V}$ и универсальную газовую постоянную $\text{R}$:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\nu_2 T_2}{\nu_1 T_1}$
Подставим соотношение $\nu_2 = 2\nu_1$:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{2\nu_1 T_2}{\nu_1 T_1} = \frac{2T_2}{T_1}$
Отсюда выразим конечное давление $p_2$:
$p_2 = p_1 \cdot \frac{2T_2}{T_1}$
Подставим числовые значения:
$p_2 = 1400 \text{ Па} \cdot \frac{2 \cdot 10000 \text{ К}}{128 \text{ К}} = 1400 \cdot \frac{20000}{128} \text{ Па} = 1400 \cdot 156.25 \text{ Па} = 218750 \text{ Па}$
Результат можно также представить в килопаскалях: $p_2 = 218.75$ кПа.

Ответ: давление газа в сосуде при этих условиях составит $218750$ Па (или $218.75$ кПа).

Какой внутренней энергией обладает разогретый азот объёмом 1 л?

Дано:

Состояние разогретого газа (атомарный азот):
Давление $p_2 = 218750$ Па
Температура $T_2 = 10000$ К
Объём $V' = 1$ л

$V' = 1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 = 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$U_2$ - внутренняя энергия.

Решение:

Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой:
$U = \frac{i}{2}\nu R T$
где $\text{i}$ - число степеней свободы.
Разогретый азот является атомарным, то есть одноатомным газом. Для одноатомного газа число степеней свободы $i=3$ (три поступательные степени свободы).
Таким образом, внутренняя энергия равна:
$U_2 = \frac{3}{2}\nu' R T_2$
где $\nu'$ - количество вещества в объёме $V'$.
Из уравнения состояния идеального газа $p_2 V' = \nu' R T_2$. Мы можем подставить правую часть этого уравнения в формулу для внутренней энергии:
$U_2 = \frac{3}{2} p_2 V'$
Подставим числовые значения в систему СИ:
$U_2 = \frac{3}{2} \cdot 218750 \text{ Па} \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1.5 \cdot 218.75 \text{ Дж} = 328.125 \text{ Дж}$

Ответ: внутренняя энергия разогретого азота объёмом 1 л составляет $328.125$ Дж.