Номер 4, страница 265 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. Почему поверхность заряженного проводника является эквипотенциальной поверхностью?

4. Решение:

Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, во всех точках которой потенциал электростатического поля имеет одинаковое значение. Чтобы доказать, что поверхность заряженного проводника является эквипотенциальной, рассмотрим условия равновесия зарядов в проводнике.

1. В состоянии электростатического равновесия отсутствует упорядоченное движение свободных зарядов внутри проводника и на его поверхности. Если бы на поверхности проводника существовала составляющая напряженности электрического поля, направленная по касательной к поверхности ($E_τ$), то она бы вызывала движение свободных зарядов вдоль поверхности. Это противоречило бы условию равновесия.

2. Следовательно, в состоянии равновесия тангенциальная (касательная) составляющая напряженности электрического поля на поверхности проводника равна нулю ($E_τ=0$). Это означает, что вектор напряженности $\vec{E}$ в любой точке на поверхности проводника направлен перпендикулярно (по нормали) к этой поверхности.

3. Работа $\text{A}$, совершаемая полем при перемещении пробного заряда $\text{q}$ из точки 1 в точку 2, связана с разностью потенциалов $φ_1 - φ_2$ соотношением: $A = q(φ_1 - φ_2)$. С другой стороны, работа определяется как интеграл $A = \int_1^2 q\vec{E} \cdot d\vec{l}$.

4. Рассмотрим перемещение пробного заряда между двумя любыми точками на поверхности проводника. Поскольку вектор напряженности $\vec{E}$ в любой точке поверхности перпендикулярен самой поверхности, он будет перпендикулярен и любому элементарному перемещению $d\vec{l}$ вдоль этой поверхности. В этом случае скалярное произведение $\vec{E} \cdot d\vec{l} = E \cdot dl \cdot \cos(90°) = 0$.

5. Таким образом, работа по перемещению заряда между любыми двумя точками на поверхности проводника равна нулю. Из этого следует, что разность потенциалов между этими точками также равна нулю: $φ_1 - φ_2 = 0$, или $φ_1 = φ_2$.

Поскольку точки 1 и 2 были выбраны произвольно, это означает, что все точки на поверхности заряженного проводника, находящегося в равновесии, имеют один и тот же потенциал.

Ответ: Поверхность заряженного проводника является эквипотенциальной, так как в состоянии электростатического равновесия вектор напряженности электрического поля в любой точке поверхности перпендикулярен ей. Из-за этого работа по перемещению заряда вдоль поверхности равна нулю, что означает отсутствие разности потенциалов между любыми точками на этой поверхности.

5. Решение:

Для доказательства того, что внутри проводника все точки имеют одинаковый потенциал, воспользуемся двумя фундаментальными положениями электростатики.

1. В состоянии электростатического равновесия напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю ($\vec{E}_{вн} = 0$). Если бы поле внутри проводника не было равно нулю, то на свободные заряды действовала бы электрическая сила $F = qE$, которая приводила бы их в упорядоченное движение (электрический ток). Это движение продолжалось бы до тех пор, пока заряды не перераспределились бы таким образом, чтобы созданное ими поле полностью скомпенсировало внешнее поле. В итоге, результирующее поле внутри проводника обращается в нуль.

2. Разность потенциалов между двумя произвольными точками A и B в электрическом поле определяется через работу, совершаемую полем, и выражается интегралом от напряженности поля вдоль пути, соединяющего эти точки: $φ_B - φ_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$

3. Выберем две любые точки A и B внутри проводника. Поскольку напряженность электрического поля $\vec{E}$ в каждой точке на пути от A до B (этот путь целиком лежит внутри проводника) равна нулю, подынтегральное выражение $\vec{E} \cdot d\vec{l}$ также будет равно нулю.

4. Следовательно, интеграл, определяющий разность потенциалов, равен нулю: $φ_B - φ_A = -\int_A^B 0 \cdot d\vec{l} = 0$

5. Из этого равенства следует, что $φ_B = φ_A$. Так как точки A и B были выбраны произвольно внутри проводника, это означает, что потенциалы во всех точках внутри проводника одинаковы.

Более того, так как потенциал — непрерывная функция, потенциал в любой внутренней точке равен потенциалу на поверхности проводника, который, как было показано в предыдущем вопросе, также постоянен. Таким образом, весь объем проводника, включая его поверхность, является эквипотенциальным.

Ответ: Внутри проводника в состоянии равновесия напряженность электрического поля равна нулю. Поскольку разность потенциалов между двумя точками равна интегралу от напряженности, взятому с обратным знаком, а подынтегральная функция тождественно равна нулю, то и разность потенциалов между любыми двумя точками внутри проводника равна нулю. Это доказывает, что все точки внутри проводника имеют одинаковый потенциал.