Номер 2, страница 265 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Металлический шар радиусом $\text{r}$ укреплён на изолирующей подставке и имеет положительный электрический заряд $\text{q}$. Определите потенциал этого шара, если он окружён заземлённой сферической оболочкой радиусом $\text{R}$ (рис. 4.40).

Решение.< Потенциал $\varphi$ шара равен сумме потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$ электрических полей зарядов на поверхности шара и на оболочке. Так как оболочка заземлена, напряжённость электрического поля вне оболочки равна нулю. Это значит, что на оболочке появляется электрический заряд $-q$, равный по модулю заряду на шаре (рис. 4.41). Найдём потенциалы электрических полей, создаваемых зарядами на поверхности шара и на оболочке:

$\varphi_1 = \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 r}$, $\varphi_2 = -\frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 R}$

Рис. 4.40

Рис. 4.41

Тогда потенциал $\varphi$ шара равен:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 =$

$= \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{R-r}{Rr} \right)$

Дано:

Металлический шар радиусом $\text{r}$
Заряд шара $\text{q}$ ($q > 0$)
Шар окружен заземленной проводящей сферической оболочкой радиусом $\text{R}$ ($R > r$)
Электрическая постоянная $\epsilon_0$

Найти:

Потенциал шара $\varphi$

Решение:

Потенциал $\varphi$ на поверхности внутреннего шара создается как его собственным зарядом $\text{q}$, так и зарядами, индуцированными на заземленной сферической оболочке. Согласно принципу суперпозиции, итоговый потенциал шара равен сумме потенциалов, создаваемых этими двумя системами зарядов:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$

где $\varphi_1$ — потенциал, создаваемый зарядом $\text{q}$ самого шара на его поверхности, а $\varphi_2$ — потенциал, создаваемый индуцированными на оболочке зарядами в точке на поверхности внутреннего шара.

1. Потенциал, создаваемый зарядом $\text{q}$ на поверхности шара радиусом $\text{r}$, равен:

$\varphi_1 = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$

2. Заряд $\text{q}$ внутреннего шара создает электрическое поле, которое вызывает перераспределение зарядов в проводящей оболочке. Так как оболочка заземлена, ее потенциал равен нулю. Поле внутри проводника (в материале оболочки) должно быть равно нулю. Согласно теореме Гаусса, для этого на внутренней поверхности оболочки (на радиусе $\text{R}$) должен индуцироваться заряд $q'$, равный по модулю и противоположный по знаку заряду внутреннего шара:

$q' = -q$

Этот индуцированный заряд $-q$ равномерно распределен по внутренней поверхности оболочки. Потенциал, создаваемый сферически симметричным зарядом $-q$, расположенным на сфере радиуса $\text{R}$, во всех точках внутри этой сферы (включая область, где находится внутренний шар) постоянен и равен потенциалу на поверхности самой оболочки:

$\varphi_2 = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 R}$

3. Теперь найдем суммарный потенциал на поверхности внутреннего шара:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} + \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 R}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\varphi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$

Приводя выражение в скобках к общему знаменателю, получаем окончательную формулу:

$\varphi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{R-r}{Rr}$

Ответ:

$\varphi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{R-r}{Rr}$