Номер 6, страница 265 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6. Докажите, что электрическое поле вне заряженного уединённого проводящего шара такое же, как и поле точечного заряда в его центре.

6. Дано:

Заряженный уединённый проводящий шар.

Радиус шара: $\text{R}$.

Полный заряд шара: $\text{Q}$.

Точка наблюдения на расстоянии $\text{r}$ от центра, где $r > R$.

Найти:

Доказать, что электрическое поле $\vec{E}$ вне шара совпадает с полем точечного заряда $\text{Q}$, расположенного в центре шара.

Решение:

1. В состоянии электростатического равновесия весь сообщённый проводящему шару заряд $\text{Q}$ распределяется по его внешней поверхности. Из-за сферической симметрии шара это распределение будет равномерным. Поверхностная плотность заряда $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ является постоянной величиной по всей поверхности.

2. Электрическое поле, создаваемое этим распределением заряда, также должно обладать сферической симметрией. Это означает, что вектор напряжённости электрического поля $\vec{E}$ в любой точке пространства будет направлен по радиусу (от центра для $Q > 0$ и к центру для $Q < 0$), а его модуль будет зависеть только от расстояния $\text{r}$ до центра шара, т.е. $E = E(r)$.

3. Для нахождения напряжённости поля $\text{E}$ вне шара ($r > R$) воспользуемся теоремой Гаусса. Эта теорема гласит, что поток вектора напряжённости электрического поля через любую замкнутую поверхность (поверхность Гаусса) пропорционален полному заряду, заключённому внутри этой поверхности:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

4. В качестве гауссовой поверхности выберем сферу радиуса $r > R$, концентрическую с проводящим шаром. В силу симметрии, в каждой точке этой сферы вектор $\vec{E}$ перпендикулярен поверхности (параллелен вектору нормали $d\vec{A}$) и имеет одинаковую величину $\text{E}$.

5. Тогда скалярное произведение $\vec{E} \cdot d\vec{A}$ становится равным $E dA$, и поток через гауссову поверхность можно записать как:

$\Phi_E = \oint_S E dA = E \oint_S dA$

Интеграл $\oint_S dA$ равен площади поверхности гауссовой сферы, то есть $4\pi r^2$. Таким образом, поток равен:

$\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2$

6. Полный заряд $Q_{вн}$, заключённый внутри нашей гауссовой поверхности, — это весь заряд проводящего шара $\text{Q}$, так как гауссова поверхность охватывает его целиком.

7. Подставляя выражения для потока и заключённого заряда в теорему Гаусса, получаем:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Отсюда выражаем модуль напряжённости электрического поля:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

8. Полученная формула в точности совпадает с формулой для напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{Q}$ на расстоянии $\text{r}$ от него. Направление вектора $\vec{E}$ (радиальное) также совпадает. Следовательно, электрическое поле вне заряженного проводящего шара такое же, как поле точечного заряда, равного полному заряду шара и помещённого в его центр.

Ответ: Доказательство основано на применении теоремы Гаусса для сферически симметричной системы. Выбирая в качестве гауссовой поверхности сферу, концентрическую с заряженным шаром и имеющую радиус $\text{r}$, больший радиуса шара $\text{R}$, мы показываем, что напряжённость поля на этой поверхности $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$. Это выражение полностью идентично полю точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр.

7. Притяжение незаряженных кусков диэлектрика к заряженным телам объясняется явлением поляризации диэлектрика во внешнем электрическом поле.

1. Любое заряженное тело создаёт вокруг себя электрическое поле. Когда в это поле вносится незаряженный диэлектрик, он поляризуется. Это означает, что под действием поля происходит перераспределение зарядов внутри диэлектрика, хотя в целом он остается электронейтральным.

2. Механизм поляризации зависит от строения диэлектрика:
- У полярных диэлектриков молекулы изначально являются диполями. Внешнее поле ориентирует эти диполи преимущественно в одном направлении.
- У неполярных диэлектриков внешнее поле деформирует атомы и молекулы, смещая положительные и отрицательные заряды в противоположные стороны и создавая таким образом индуцированные диполи.

3. В результате поляризации на поверхности диэлектрика, обращённой к заряженному телу, скапливается связанный (индуцированный) заряд, по знаку противоположный заряду тела. На противоположной, более далёкой, поверхности диэлектрика скапливается связанный заряд того же знака, что и у заряженного тела.

4. Электрическое поле, создаваемое заряженным телом, является неоднородным: его напряжённость убывает с расстоянием. Поэтому сила притяжения между заряженным телом и ближайшим к нему индуцированным зарядом противоположного знака будет больше по модулю, чем сила отталкивания между телом и более удалённым индуцированным зарядом того же знака. Например, если заряженное тело имеет заряд $+Q$, то на ближней стороне диэлектрика индуцируется заряд $-q$, а на дальней — $+q$. Расстояние $r_1$ от $+Q$ до $-q$ меньше, чем расстояние $r_2$ до $+q$. Сила притяжения $F_{прит} \sim \frac{Q \cdot q}{r_1^2}$ будет больше силы отталкивания $F_{отт} \sim \frac{Q \cdot q}{r_2^2}$, поскольку $r_1 < r_2$.

5. В результате сложения этих сил возникает результирующая сила, направленная в сторону заряженного тела, то есть сила притяжения. Это явление не зависит от знака заряда тела: незаряженный диэлектрик будет притягиваться как к положительно, так и к отрицательно заряженному телу.

Ответ: Когда незаряженный диэлектрик оказывается в неоднородном электрическом поле заряженного тела, он поляризуется. На его поверхности, ближайшей к телу, индуцируется заряд противоположного знака, а на дальней — того же знака. Так как поле ослабевает с расстоянием, сила притяжения к ближайшему (противоположному) заряду оказывается сильнее силы отталкивания от дальнего (одноимённого) заряда. В результате возникает результирующая сила притяжения.