Номер 3, страница 266 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 3. На каком расстоянии от маленького заряженного шара напряжённость электрического поля в воде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 81$ будет такой же, как и в вакууме на расстоянии $r_1 = 18$ см от центра шара?

Решение. Так как напряжённость поля одинакова ($E_1 = E_2$), то

$\frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 r_1^2} = \frac{|q|}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 r_2^2}$

Отсюда следует:

$r_2 = r_1\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}} = 0,18\sqrt{\frac{1}{81}} \text{ (м)} = 0,02 \text{ м} = 2 \text{ см}.$

Дано:

Диэлектрическая проницаемость воды, $ε = 81$.

Расстояние в вакууме, $r_1 = 18$ см.

Напряжённость электрического поля в вакууме $E_1$ равна напряжённости в воде $E_2$.

$r_1 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Расстояние в воде, $r_2$.

Решение:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$ от него, в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ определяется формулой:

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q|}{r^2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Для вакуума диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ принимается равной 1. Следовательно, напряжённость поля в вакууме на расстоянии $r_1$ от заряда $\text{q}$ равна:

$E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r_1^2}$

В воде, диэлектрическая проницаемость которой $ε = 81$, напряжённость поля на искомом расстоянии $r_2$ будет:

$E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

По условию задачи, напряжённости полей в вакууме и в воде должны быть одинаковы, то есть $E_1 = E_2$. Приравняем правые части выражений:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r_1^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

Мы можем сократить одинаковые множители в обеих частях уравнения: $\frac{|q|}{4\pi\epsilon_0}$.

$\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{\epsilon r_2^2}$

Из этой пропорции выразим $r_2^2$:

$\epsilon r_2^2 = r_1^2$

$r_2^2 = \frac{r_1^2}{\epsilon}$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $r_2$:

$r_2 = \sqrt{\frac{r_1^2}{\epsilon}} = \frac{r_1}{\sqrt{\epsilon}}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$r_2 = \frac{0.18 \text{ м}}{\sqrt{81}} = \frac{0.18 \text{ м}}{9} = 0.02 \text{ м}$

Результат можно перевести в сантиметры: $0.02 \text{ м} = 2 \text{ см}$.

Ответ: расстояние в воде, на котором напряженность поля будет такой же, как в вакууме на расстоянии 18 см, составляет 2 см.