Номер 5, страница 265 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

5. Докажите, что внутри проводника все точки имеют одинаковый потенциал, равный потенциалу на поверхности этого проводника.

5. Решение

Рассмотрим проводник, находящийся в состоянии электростатического равновесия. Это означает, что упорядоченное движение свободных зарядов внутри и на поверхности проводника прекратилось.

1. Докажем, что напряженность электрического поля $\text{E}$ внутри проводника равна нулю. Если бы в какой-либо точке внутри проводника напряженность поля была отлична от нуля ($E \neq 0$), то на свободные носители заряда (например, электроны в металле с зарядом $\text{q}$) действовала бы сила $F = qE$. Под действием этой силы заряды пришли бы в движение, что означало бы наличие электрического тока. Однако в состоянии электростатического равновесия по определению нет никаких токов. Это противоречие приводит к выводу, что напряженность поля во всех точках внутри проводника должна быть равна нулю:

$E_{внутри} = 0$

2. Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением, в котором напряженность является градиентом потенциала со знаком минус: $E = -\nabla\varphi$. Для любой траектории внутри проводника разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 определяется через интеграл:

$\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 E \cdot dl$

3. Поскольку, как мы установили, напряженность $\text{E}$ в любой точке внутри проводника равна нулю, интеграл также будет равен нулю для любых двух точек 1 и 2 внутри проводника:

$\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 0 \cdot dl = 0$

Отсюда следует, что $\varphi_1 = \varphi_2$. Так как точки 1 и 2 выбраны произвольно, это означает, что потенциал во всех точках внутри проводника одинаков, то есть является постоянной величиной:

$\varphi_{внутри} = \text{const}$

4. Потенциал является непрерывной функцией. Это означает, что при переходе из точки, находящейся непосредственно под поверхностью, в точку на самой поверхности, значение потенциала не может измениться скачкообразно. Следовательно, постоянное значение потенциала внутри проводника должно быть равно значению потенциала на его поверхности.

Таким образом, потенциал во всех точках внутри проводника и на его поверхности одинаков.

Ответ: Доказательство основано на том факте, что в состоянии электростатического равновесия напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю ($E=0$). Связь между напряженностью и потенциалом ($\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 E \cdot dl$) показывает, что при $E=0$ разность потенциалов между любыми двумя точками внутри проводника равна нулю. Это означает, что потенциал по всему объему проводника постоянен ($\varphi = \text{const}$). В силу непрерывности потенциала, его значение внутри совпадает со значением на поверхности.

6. Вопрос на изображении представлен не полностью: "Докажите, что элект-". Вероятнее всего, имелся в виду один из двух классических вопросов по электростатике проводников. Ниже приведены доказательства для двух наиболее вероятных полных формулировок вопроса.

Возможный вопрос 1: Докажите, что напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.

Решение

Данное утверждение является фундаментальным свойством проводников в состоянии электростатического равновесия. Доказательство ведется от противного.

Предположим, что напряженность электрического поля $\text{E}$ внутри проводника не равна нулю ($E \neq 0$). Проводники по своему определению содержат свободные носители заряда (например, электроны в металлах). Если внутри проводника существует электрическое поле, то на каждый свободный заряд $\text{q}$ будет действовать электрическая сила $F = qE$. Эта сила заставит заряды двигаться в определенном направлении, то есть создаст электрический ток.

Однако, по определению, система находится в состоянии электростатического равновесия, которое характеризуется отсутствием макроскопического движения зарядов (токов). Полученное противоречие (наличие тока при его отсутствии по условию) означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, напряженность электрического поля внутри проводника в состоянии электростатического равновесия всегда равна нулю.

Ответ: Допущение о существовании ненулевого электрического поля внутри проводника в равновесии приводит к противоречию: такое поле вызвало бы движение свободных зарядов (ток), что нарушило бы само состояние равновесия. Следовательно, поле должно быть равно нулю.

Возможный вопрос 2: Докажите, что вектор напряженности электрического поля у поверхности проводника перпендикулярен этой поверхности.

Решение

Рассмотрим произвольную точку на поверхности проводника, находящегося в состоянии электростатического равновесия. Предположим, что вектор напряженности электрического поля $\text{E}$ в этой точке направлен под некоторым углом к поверхности, то есть не перпендикулярен ей.

В этом случае вектор $\text{E}$ можно разложить на две составляющие: нормальную $E_n$ (перпендикулярную поверхности) и тангенциальную $E_{\tau}$ (касательную к поверхности).

Если тангенциальная составляющая $E_{\tau}$ отлична от нуля, то на свободные заряды, находящиеся на поверхности проводника, будет действовать сила $F_{\tau} = qE_{\tau}$, направленная вдоль поверхности. Эта сила вызвала бы упорядоченное движение зарядов вдоль поверхности, то есть возник бы поверхностный электрический ток.

Однако, как и в предыдущих рассуждениях, мы рассматриваем систему в состоянии электростатического равновесия, в котором все токи отсутствуют. Следовательно, не должно быть никакой силы, вызывающей движение зарядов вдоль поверхности. Это возможно только в том случае, если тангенциальная составляющая напряженности поля равна нулю:

$E_{\tau} = 0$

Если касательная составляющая поля равна нулю, то вектор напряженности $\text{E}$ имеет только нормальную составляющую ($E = E_n$). Это означает, что вектор $\text{E}$ в любой точке на поверхности проводника направлен строго перпендикулярно этой поверхности.

Ответ: Если бы вектор напряженности электрического поля у поверхности проводника не был ей перпендикулярен, то его касательная составляющая приводила бы в движение свободные заряды вдоль поверхности. Это означало бы наличие поверхностного тока, что противоречит состоянию электростатического равновесия. Следовательно, касательная составляющая равна нулю, а сам вектор напряженности перпендикулярен поверхности.