Номер 8, страница 277 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

8. Рассмотрите напряжённость и потенциал металлического и диэлектрического шаров. Изобразите график зависимости напряжённости и потенциала от расстояния. Начало отсчёта поместите в центре шара.

Металлический шар

Решение

Рассмотрим уединенный проводящий (металлический) шар радиусом $\text{R}$, которому сообщили заряд $\text{Q}$. В состоянии электростатического равновесия, которое наступает очень быстро, весь избыточный заряд $\text{Q}$ распределяется по внешней поверхности шара. Это происходит потому, что свободные носители заряда (электроны в металле) отталкиваются друг от друга и стремятся занять положение на максимальном удалении, то есть на поверхности.

Напряженность электрического поля $E(r)$:

1. Внутри шара ($r < R$): Напряженность электрического поля равна нулю ($E=0$). Это фундаментальное свойство проводника в электростатическом поле. Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, проведенную внутри проводника, равен отношению заключенного в ней заряда к $\epsilon_0$. Так как внутри проводника нет избыточного заряда, поток и напряженность равны нулю.

2. Вне шара ($r \ge R$): Согласно той же теореме Гаусса, поле за пределами шара идентично полю точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр шара. Напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра. На поверхности ($r=R$) напряженность скачком достигает своего максимального значения.
При $r \ge R$: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Потенциал электрического поля $\varphi(r)$: (при условии, что потенциал на бесконечности равен нулю, $\varphi(\infty) = 0$)

1. Внутри и на поверхности шара ($r \le R$): Поскольку напряженность поля внутри шара равна нулю ($E = -\frac{d\varphi}{dr} = 0$), потенциал во всех точках внутри шара одинаков и равен потенциалу на его поверхности. Проводник в равновесии является эквипотенциальным объемом.
При $r \le R$: $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = const$

2. Вне шара ($r > R$): Потенциал, как и в случае точечного заряда, убывает обратно пропорционально расстоянию от центра.
При $r > R$: $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$

Ответ:

Графики зависимости напряженности $\text{E}$ и потенциала $\varphi$ от расстояния $\text{r}$ до центра металлического шара:

График $E(r)$:

- На участке от $r=0$ до $r

- В точке $r=R$ напряженность испытывает скачок (разрыв) от 0 до максимального значения $E_{max} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2}$.

- На участке $r>R$ напряженность убывает по закону $E \propto 1/r^2$, график представляет собой ветвь гиперболы, асимптотически приближающуюся к оси абсцисс.

График $\varphi(r)$:

- На участке от $r=0$ до $r=R$ график представляет собой горизонтальную прямую, значение потенциала постоянно и равно $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$.

- На участке $r > R$ потенциал убывает по закону $\varphi \propto 1/r$.

- График потенциала является непрерывной функцией: значение на поверхности $\varphi(R)$ одинаково, рассматривается ли оно как предельное значение изнутри или снаружи.

Диэлектрический шар

Решение

Рассмотрим шар из однородного диэлектрика радиусом $\text{R}$, который заряжен равномерно по всему объему с объемной плотностью заряда $\rho$. Общий заряд шара равен $Q = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$. В диэлектрике нет свободных зарядов, поэтому заряд остается распределенным по объему.

Напряженность электрического поля $E(r)$:

1. Внутри шара ($r < R$): По теореме Гаусса, для сферической поверхности радиусом $r < R$ заряд внутри нее равен $Q_{вн} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \frac{r^3}{R^3}$. Тогда $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{вн}}{\epsilon_0}$, откуда получаем, что напряженность растет линейно с расстоянием от центра.
При $r < R$: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$

2. Вне шара ($r \ge R$): Как и в предыдущем случае, вне шара поле совпадает с полем точечного заряда $\text{Q}$, помещенного в центр.
При $r \ge R$: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$
На поверхности ($r=R$) значения напряженности, вычисленные по обеим формулам, совпадают, то есть функция $E(r)$ непрерывна.

Потенциал электрического поля $\varphi(r)$: (при условии $\varphi(\infty) = 0$)

1. Вне шара и на поверхности ($r \ge R$): Потенциал совпадает с потенциалом точечного заряда $\text{Q}$.
При $r \ge R$: $\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$

2. Внутри шара ($r < R$): Потенциал находится путем интегрирования напряженности. Он изменяется по параболическому закону, достигая максимума в центре шара.
При $r < R$: $\varphi(r) = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^3} (3R^2 - r^2)$
В центре шара ($r=0$) потенциал максимален: $\varphi(0) = \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R} = \frac{3}{2}\varphi(R)$.

Ответ:

Графики зависимости напряженности $\text{E}$ и потенциала $\varphi$ от расстояния $\text{r}$ до центра диэлектрического шара, заряженного по объему:

График $E(r)$:

- На участке от $r=0$ до $r=R$ график представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат ($E \propto r$).

- В точке $r=R$ напряженность достигает максимального значения $E_{max} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2}$.

- На участке $r>R$ напряженность убывает по закону $E \propto 1/r^2$.

- График напряженности является непрерывной функцией, имеющей излом ("пик") в точке $r=R$.

График $\varphi(r)$:

- На участке от $r=0$ до $r=R$ график представляет собой ветвь параболы, обращенную ветвями вниз. Потенциал уменьшается от максимального значения $\varphi(0) = \frac{3}{2}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$ в центре до значения $\varphi(R) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$ на поверхности.

- На участке $r > R$ потенциал убывает по закону $\varphi \propto 1/r$.

- График потенциала является непрерывной и гладкой функцией во всех точках.