Решите 55.3, страница 286 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

55.3 Чему должна быть равна площадь поперечного сечения алюминиевых проводов для передачи энергии на 1000 км, если передаваемая мощность составляет 1 ГВт, напряжение в линии электропередачи равно 500 кВ, а часть мощности, теряемой в проводах, $ \alpha = 0,08 $? Для алюминия $ \rho = 2,8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} $. Чему должна быть равна площадь поперечного сечения проводов той же линии при напряжении 250 В?

Дано:

Расстояние передачи энергии (длина линии): $l = 1000 \text{ км}$
Передаваемая мощность: $P = 1 \text{ ГВт}$
Напряжение в линии (случай 1): $U_1 = 500 \text{ кВ}$
Напряжение в линии (случай 2): $U_2 = 250 \text{ В}$
Доля теряемой мощности: $\alpha = 0,08$
Удельное сопротивление алюминия: $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:
$l = 1000 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^6 \text{ м}$
$P = 1 \cdot 10^9 \text{ Вт}$
$U_1 = 500 \cdot 10^3 \text{ В} = 5 \cdot 10^5 \text{ В}$
$U_2 = 250 \text{ В}$

Найти:

$S_1$ — площадь поперечного сечения при напряжении $U_1$
$S_2$ — площадь поперечного сечения при напряжении $U_2$

Решение:

Сначала выведем общую формулу для расчета площади поперечного сечения провода.
Передаваемая мощность $\text{P}$ связана с напряжением в линии $\text{U}$ и силой тока $\text{I}$ соотношением $P = UI$. Отсюда сила тока: $I = \frac{P}{U}$.
Мощность, теряемая в проводах на нагрев (потери), определяется по закону Джоуля-Ленца: $P_{\text{потерь}} = I^2 R$, где $\text{R}$ - сопротивление линии электропередачи.
По условию, доля теряемой мощности составляет $\alpha$: $P_{\text{потерь}} = \alpha P$.
Приравняем выражения для потерь и подставим выражение для тока: $\alpha P = \left(\frac{P}{U}\right)^2 R = \frac{P^2}{U^2} R$.
Отсюда можно выразить сопротивление линии $\text{R}$: $R = \frac{\alpha U^2}{P}$.
Сопротивление проводника также можно выразить через его параметры: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление, $\text{L}$ - общая длина проводов, $\text{S}$ - площадь поперечного сечения.
Линия электропередачи состоит из двух проводов (прямого и обратного), поэтому общая длина $L = 2l$.
Таким образом, $R = \rho \frac{2l}{S}$.
Приравняв два выражения для сопротивления $\text{R}$, получим: $\frac{\alpha U^2}{P} = \rho \frac{2l}{S}$.
Из этого уравнения выразим искомую площадь поперечного сечения $\text{S}$: $S = \frac{2l \rho P}{\alpha U^2}$.

Чему должна быть равна площадь поперечного сечения ... при напряжении 500 кВ?

Подставим в выведенную формулу значения для первого случая ($U_1 = 500 \text{ кВ}$):
$S_1 = \frac{2 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 10^9 \text{ Вт}}{0,08 \cdot (5 \cdot 10^5 \text{ В})^2} = \frac{5,6 \cdot 10^7}{0,08 \cdot 25 \cdot 10^{10}} = \frac{5,6 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^{10}} = 2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$.
Для наглядности переведем в квадратные сантиметры: $S_1 = 2,8 \cdot 10^{-3} \cdot 10^4 \text{ см}^2 = 28 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь поперечного сечения проводов при напряжении 500 кВ должна быть равна $2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$ (или $28 \text{ см}^2$).

Чему должна быть равна площадь поперечного сечения проводов той же линии при напряжении 250 В?

Для второго случая можно использовать ту же формулу или найти $S_2$ через соотношение с уже вычисленной $S_1$. Из основной формулы видно, что площадь сечения $\text{S}$ обратно пропорциональна квадрату напряжения $U^2$.
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{U_1^2}{U_2^2} \implies S_2 = S_1 \left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2$
Подставим числовые значения:
$S_2 = (2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2) \cdot \left(\frac{5 \cdot 10^5 \text{ В}}{250 \text{ В}}\right)^2 = (2,8 \cdot 10^{-3}) \cdot (2000)^2$
$S_2 = 2,8 \cdot 10^{-3} \cdot 4 \cdot 10^6 = 11,2 \cdot 10^3 \text{ м}^2 = 11200 \text{ м}^2$.
Этот результат показывает, почему для передачи больших мощностей на дальние расстояния используют высокое напряжение: при низком напряжении требуемая площадь сечения провода становится нереалистично большой.

Ответ: Площадь поперечного сечения проводов при напряжении 250 В должна быть равна $11200 \text{ м}^2$.