Номер 2, страница 289 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Какую ошибку в измерении ЭДС источника тока мы допускаем, если по-казание школьного лабораторного вольтметра, присоединённого к его полюсам, равное 4 В, принимаем за ЭДС источника тока? Внутреннее сопротивление источника тока $r = 5 \text{ Ом}$, сопротивление вольтметра $R_B = 2000 \text{ Ом}$.

Решение. Вольтметр показывает напряжение между его зажимами. Когда вольтметр присоединён к полюсам источника, показания вольтметра меньше ЭДС источника.

Напряжение на зажимах $U = IR_B$, электродвижущая сила $\mathcal{E} = I(R_B + r)$.

Отсюда $\mathcal{E} = \frac{U(R_B + r)}{R_B} = \frac{4 \cdot 2005}{2000} \text{ (В)} = 4,01 \text{ В}$.

Таким образом, абсолютная ошибка в измерении ЭДС составляет:

$\Delta\mathcal{E} = \mathcal{E} - U = Ir$, т. е. $\Delta\mathcal{E} = 0,01 \text{ В}$, а относительная ошибка

$\delta = \frac{\Delta\mathcal{E}}{\mathcal{E}} = \frac{Ir}{I(R_B+r)} = \frac{r}{R_B+r} \approx \frac{r}{R_B} = \frac{0,01}{4} = 0,0025$, или $0,25 \%$.

Если цена деления вольтметра равна 0,2 В, то ошибка в 0,01 В не может быть обнаружена при измерении данным вольтметром.

Дано:

Показание вольтметра, $U = 4$ В

Внутреннее сопротивление источника, $r = 5$ Ом

Сопротивление вольтметра, $R_B = 2000$ Ом

Все данные представлены в единицах, соответствующих системе СИ.

Найти:

Абсолютную ошибку $Δ\mathscr{E}$ и относительную ошибку $δ$ измерения ЭДС.

Решение:

Идеальный вольтметр имеет бесконечное сопротивление и, будучи подключенным к источнику, не влияет на цепь, измеряя непосредственно ЭДС. Реальный вольтметр имеет конечное сопротивление $R_B$. Когда мы подключаем его к полюсам источника, создается замкнутая электрическая цепь. Вольтметр в этой цепи выступает в роли внешней нагрузки.

Показание вольтметра — это напряжение на его клеммах, которое равно напряжению на внешней цепи (в данном случае, на самом вольтметре). Согласно закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R_B$

где $\text{I}$ — сила тока в цепи.

Истинное значение ЭДС ($\mathscr{E}$) источника определяется законом Ома для полной цепи:

$\mathscr{E} = I \cdot (R_B + r)$

где $(R_B + r)$ — полное сопротивление цепи.

Чтобы найти истинное значение ЭДС, выразим ток $\text{I}$ из первой формулы: $I = \frac{U}{R_B}$. Подставим это выражение во вторую формулу:

$\mathscr{E} = \frac{U}{R_B} (R_B + r)$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\mathscr{E} = \frac{4 \text{ В}}{2000 \text{ Ом}} \cdot (2000 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом}) = 0,002 \text{ А} \cdot 2005 \text{ Ом} = 4,01$ В

Таким образом, истинное значение ЭДС источника составляет 4,01 В. Ошибка возникает из-за того, что мы принимаем за ЭДС показание вольтметра, равное 4 В.

Абсолютная ошибка измерения — это разность между истинным значением ЭДС и измеренным напряжением:

$Δ\mathscr{E} = \mathscr{E} - U = 4,01 \text{ В} - 4 \text{ В} = 0,01$ В

Относительная ошибка измерения — это отношение абсолютной ошибки к истинному значению ЭДС. Её часто выражают в процентах.

$δ = \frac{Δ\mathscr{E}}{\mathscr{E}} = \frac{\mathscr{E} - U}{\mathscr{E}} = \frac{Ir}{I(R_B+r)} = \frac{r}{R_B+r}$

Подставим значения:

$δ = \frac{5 \text{ Ом}}{2000 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом}} = \frac{5}{2005} \approx 0,00249$

Поскольку внутреннее сопротивление $\text{r}$ намного меньше сопротивления вольтметра $R_B$, для оценки можно использовать приближенную формулу, где в знаменателе пренебрегают величиной $\text{r}$ по сравнению с $R_B$ (или, что то же самое, в качестве опорного значения берут $\text{U}$ вместо $\mathscr{E}$):

$δ \approx \frac{Δ\mathscr{E}}{U} = \frac{0,01 \text{ В}}{4 \text{ В}} = 0,0025$

Переведем в проценты:

$δ = 0,0025 \cdot 100\% = 0,25\%$

Вывод: при измерении ЭДС данным методом мы допускаем систематическую ошибку. Абсолютная ошибка составляет 0,01 В, а относительная — 0,25%. Важно отметить, что если цена деления используемого вольтметра, к примеру, 0,2 В, то его приборная погрешность (обычно принимается равной половине цены деления, т.е. 0,1 В) значительно больше вычисленной систематической ошибки. В таком случае ошибка в 0,01 В не может быть обнаружена данным прибором и является незначительной.

Ответ: абсолютная ошибка $Δ\mathscr{E} = 0,01$ В, относительная ошибка $δ \approx 0,25\%$.