Номер 2, страница 313 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 11. Жидкость и пар. Параграф 66. Смачивание, капиллярность. Задачи - номер 2, страница 313.

Условие.

2. Чему равна разность уровней ртути в двух сообщающихся капиллярах с диаметром каналов $d_1 = 0.5 \text{ мм}$ и $d_2 = 1 \text{ мм}$? Плотность ртути $\rho = 13.6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Диаметр первого капилляра, $d_1 = 0,5 \text{ мм}$

Диаметр второго капилляра, $d_2 = 1 \text{ мм}$

Плотность ртути, $\rho = 13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$d_2 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Разность уровней ртути, $\Delta h$.

Решение:

Разность уровней ртути в двух сообщающихся капиллярах обусловлена капиллярными явлениями. Ртуть является несмачивающей жидкостью для стекла, поэтому в капиллярах наблюдается опускание уровня (капиллярная депрессия) по сравнению с уровнем в широком сосуде. Высота этого опускания определяется формулой Жюрена:

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$

где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\theta$ – краевой угол смачивания, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $r$ – радиус капилляра ($r = d/2$).

Поскольку для ртути угол $\theta > 90^\circ$, то $\cos\theta < 0$, и высота $h$ будет отрицательной, что соответствует опусканию уровня. Величина опускания уровня в капилляре будет равна:

$|h| = \frac{2\sigma|\cos\theta|}{\rho g r} = \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g d}$

Тогда величины опускания уровня в первом и втором капиллярах равны соответственно:

$|h_1| = \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g d_1}$

$|h_2| = \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g d_2}$

Разность уровней ртути в капиллярах будет равна разности величин опускания:

$\Delta h = |h_1| - |h_2| = \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g d_1} - \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g d_2} = \frac{4\sigma|\cos\theta|}{\rho g} \left(\frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2}\right)$

В условии задачи не приведены значения коэффициента поверхностного натяжения ртути и краевого угла. Воспользуемся справочными данными:

Коэффициент поверхностного натяжения ртути: $\sigma \approx 0,465 \text{ Н/м}$.

Краевой угол смачивания для ртути на стекле: $\theta \approx 140^\circ$, тогда $|\cos(140^\circ)| \approx 0,766$.

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta h = \frac{4 \cdot 0,465 \text{ Н/м} \cdot 0,766}{13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \left(\frac{1}{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}\right)$

$\Delta h = \frac{1,425}{133280} \left(2000 \text{ м}^{-1} - 1000 \text{ м}^{-1}\right)$

$\Delta h \approx 1,07 \cdot 10^{-5} \text{ м/м}^{-1} \cdot 1000 \text{ м}^{-1} = 0,0107 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$\Delta h = 0,0107 \text{ м} = 10,7 \text{ мм}$

Ответ: разность уровней ртути равна приблизительно $10,7 \text{ мм}$.