Номер 5, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 65. Поверхностное натяжение. 11. Жидкость и пар. Молекулярная физика - номер 5, страница 309.

Условие.

5. Несмачиваемый кубик плавает на поверхности воды. Найдите глубину погружения кубика без учёта силы поверхностного натяжения; с учётом силы поверхностного натяжения. Масса кубика 3 г, длина его ребра 20 мм.

Решение.

Дано:

Масса кубика $m = 3 \text{ г}$

Длина ребра кубика $a = 20 \text{ мм}$

Плотность воды $\rho_w = 1000 \text{ кг/м}^3$

Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma \approx 0.073 \text{ Н/м}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 3 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$a = 20 \times 10^{-3} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

1. Глубину погружения без учёта силы поверхностного натяжения ($h_1$)

2. Глубину погружения с учётом силы поверхностного натяжения ($h_2$)

Решение:

Кубик плавает на поверхности воды, значит, сумма всех вертикальных сил, действующих на него, равна нулю.

1. Найдём глубину погружения кубика без учёта силы поверхностного натяжения

В этом случае на кубик действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Условие равновесия:

$F_A = F_g$

Сила тяжести определяется как $F_g = mg$.

Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_w g V_{sub1}$, где $V_{sub1}$ — объём погружённой части кубика.

Объём погружённой части кубика можно выразить через глубину погружения $h_1$ и площадь основания $S=a^2$: $V_{sub1} = a^2 h_1$.

Подставим выражения для сил в условие равновесия:

$\rho_w g a^2 h_1 = mg$

Сократив $g$, выразим глубину погружения $h_1$:

$h_1 = \frac{m}{\rho_w a^2}$

Подставим числовые значения:

$h_1 = \frac{3 \times 10^{-3} \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \times (0.02 \text{ м})^2} = \frac{3 \times 10^{-3}}{1000 \times 0.0004} = \frac{3 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.0075 \text{ м}$

Переведём в миллиметры: $0.0075 \text{ м} = 7.5 \text{ мм}$.

Ответ: глубина погружения кубика без учёта силы поверхностного натяжения составляет 7.5 мм.

2. Найдём глубину погружения кубика с учётом силы поверхностного натяжения

Поскольку кубик несмачиваемый, вода у его стенок будет опускаться. Сила поверхностного натяжения $F_\sigma$ будет направлена вверх, помогая выталкивающей силе удерживать кубик. Условие равновесия в этом случае примет вид:

$F_A + F_\sigma = F_g$

Сила поверхностного натяжения действует вдоль периметра смачивания $P$ и равна $F_\sigma = \sigma P$. Для кубика периметр равен $P = 4a$. Для полностью несмачиваемого тела сила поверхностного натяжения направлена вертикально вверх.

$F_\sigma = 4a\sigma$

Выталкивающая сила теперь зависит от новой глубины погружения $h_2$: $F_A = \rho_w g a^2 h_2$.

Подставим все выражения в условие равновесия:

$\rho_w g a^2 h_2 + 4a\sigma = mg$

Выразим отсюда глубину погружения $h_2$:

$\rho_w g a^2 h_2 = mg - 4a\sigma$

$h_2 = \frac{mg - 4a\sigma}{\rho_w g a^2}$

Подставим числовые значения:

$mg = 3 \times 10^{-3} \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.0294 \text{ Н}$

$4a\sigma = 4 \times 0.02 \text{ м} \times 0.073 \text{ Н/м} = 0.00584 \text{ Н}$

$\rho_w g a^2 = 1000 \text{ кг/м}^3 \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times (0.02 \text{ м})^2 = 3.92 \text{ Н/м}$

$h_2 = \frac{0.0294 \text{ Н} - 0.00584 \text{ Н}}{3.92 \text{ Н/м}} = \frac{0.02356}{3.92} \approx 0.00601 \text{ м}$

Переведём в миллиметры: $0.00601 \text{ м} \approx 6.0 \text{ мм}$.

Ответ: глубина погружения кубика с учётом силы поверхностного натяжения составляет 6.0 мм.