Номер 1, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 11. Жидкость и пар. Параграф 65. Поверхностное натяжение. Задачи - номер 1, страница 309.

Условие.

1. Докажите, что при слиянии нескольких капель воды в одну, происходящем при постоянной температуре, выделяется энергия. Для доказательства следует сравнить между собой поверхностную энергию всех мелких капель и одной крупной. Объём сферы, радиус которой $\text{R}$, равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, площадь её поверхности $4\pi R^2$.

Решение.

1. Решение

Поверхностная энергия жидкости $E_п$ прямо пропорциональна площади ее свободной поверхности $S$. Коэффициентом пропорциональности является коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$. Энергия вычисляется по формуле:

$E_п = \sigma S$

Любая система стремится к состоянию с минимальной потенциальной энергией. Для жидкости это означает стремление к минимальной площади поверхности. При слиянии нескольких капель в одну общая площадь их поверхности уменьшается, что приводит к уменьшению поверхностной энергии. По закону сохранения энергии, разница между начальной и конечной энергией выделяется в окружающую среду, как правило, в виде тепла.

Докажем это математически.

Пусть имеется $N$ одинаковых мелких сферических капель, радиус каждой из которых равен $r$. Эти капли сливаются в одну большую каплю радиусом $R$.

Объем одной маленькой капли:

$V_r = \frac{4}{3}\pi r^3$

Суммарный объем $N$ маленьких капель:

$V_{общ} = N \cdot V_r = N \frac{4}{3}\pi r^3$

Объем образовавшейся большой капли:

$V_R = \frac{4}{3}\pi R^3$

Так как вода считается несжимаемой жидкостью, суммарный объем маленьких капель равен объему большой капли:

$V_{общ} = V_R$

$N \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$

Из этого равенства находим связь между радиусом большой капли $R$ и радиусом маленькой капли $r$:

$N r^3 = R^3 \implies R = r \sqrt[3]{N} = r N^{1/3}$

Теперь сравним суммарную площадь поверхности маленьких капель до слияния ($S_{до}$) и площадь поверхности большой капли после слияния ($S_{после}$).

Суммарная площадь поверхности $N$ маленьких капель:

$S_{до} = N \cdot (4\pi r^2)$

Площадь поверхности большой капли:

$S_{после} = 4\pi R^2$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $R$:

$S_{после} = 4\pi (r N^{1/3})^2 = 4\pi r^2 N^{2/3}$

Сравним $S_{до}$ и $S_{после}$, найдя их отношение:

$\frac{S_{до}}{S_{после}} = \frac{N \cdot 4\pi r^2}{4\pi r^2 N^{2/3}} = \frac{N}{N^{2/3}} = N^{1 - 2/3} = N^{1/3} = \sqrt[3]{N}$

По условию задачи сливается "несколько" капель, то есть их число $N > 1$. Для любого $N > 1$ корень кубический из этого числа также будет больше единицы: $\sqrt[3]{N} > 1$.

Следовательно, отношение $\frac{S_{до}}{S_{после}} > 1$, что означает $S_{до} > S_{после}$. Суммарная площадь поверхности капель уменьшается.

Теперь сравним поверхностную энергию системы до и после слияния.

Энергия до слияния:

$E_{до} = \sigma S_{до} = \sigma N \cdot 4\pi r^2$

Энергия после слияния:

$E_{после} = \sigma S_{после} = \sigma \cdot 4\pi r^2 N^{2/3}$

Поскольку $S_{до} > S_{после}$ и коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ является положительной величиной, то и $E_{до} > E_{после}$.

Уменьшение поверхностной энергии системы $\Delta E = E_{до} - E_{после}$ означает, что эта энергия выделяется. Таким образом, доказано, что при слиянии капель происходит выделение энергии.

Ответ: Доказательство основано на том, что при слиянии N одинаковых капель в одну суммарная площадь поверхности уменьшается, так как для заданного объема сфера имеет минимальную площадь поверхности. Уменьшение площади поверхности ($S_{до} > S_{после}$) приводит к уменьшению поверхностной энергии системы ($E_{до} > E_{после}$), так как $E_п = \sigma S$. Согласно закону сохранения энергии, эта разница в энергии $\Delta E = E_{до} - E_{после} > 0$ выделяется во внешнюю среду.