Номер 5, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 66. Смачивание, капиллярность. 11. Жидкость и пар. Молекулярная физика - номер 5, страница 314.

Условие.

5. Какую работу совершают силы поверхностного натяжения воды при поднятии воды по опущенному в неё капилляру? Докажите, что эта работа не зависит от диаметра капилляра.

Решение.

Решение

Работа $A$, совершаемая силами поверхностного натяжения, определяется произведением вертикальной составляющей этой силы $F_{пн}$ на высоту подъема жидкости $h$.

Сила поверхностного натяжения действует по периметру смачивания, длина которого $l = 2\pi r$, где $r$ – радиус капилляра. Вертикальная составляющая этой силы, которая поднимает столб жидкости, равна: $F_{пн} = \sigma l \cos\theta = 2\pi r \sigma \cos\theta$ где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а $\theta$ – краевой угол смачивания.

Жидкость в капилляре поднимается до тех пор, пока сила поверхностного натяжения не будет уравновешена силой тяжести столбика жидкости $P=mg$. Массу столбика жидкости можно выразить через ее плотность $\rho$ и объем $V = \pi r^2 h$: $m = \rho \pi r^2 h$. Тогда сила тяжести: $P = \rho g \pi r^2 h$

Приравняв силы в положении равновесия ($F_{пн} = P$), можно найти высоту подъема жидкости $h$ (формула Жюрена): $2\pi r \sigma \cos\theta = \rho g \pi r^2 h$ $h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

Теперь вычислим работу, совершаемую силой поверхностного натяжения при поднятии жидкости на эту высоту: $A = F_{пн} \cdot h = (2\pi r \sigma \cos\theta) \cdot h$ Подставим полученное выражение для $h$: $A = (2\pi r \sigma \cos\theta) \cdot \left(\frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}\right)$

После сокращения радиуса $r$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для работы: $A = \frac{4\pi \sigma^2 \cos^2\theta}{\rho g}$

Для того чтобы доказать, что эта работа не зависит от диаметра капилляра, проанализируем полученную формулу. В нее входят только константы ($\pi$ и $g$) и физические характеристики, являющиеся свойствами взаимодействующих веществ: коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$, плотность жидкости $\rho$ и краевой угол смачивания $\theta$. Ни один из этих параметров не зависит от радиуса $r$ (и, следовательно, от диаметра $d=2r$) капилляра. Таким образом, работа, совершаемая силами поверхностного натяжения, не зависит от диаметра капилляра, что и требовалось доказать.

Ответ: Работа, совершаемая силами поверхностного натяжения, определяется формулой $A = \frac{4\pi \sigma^2 \cos^2\theta}{\rho g}$. Эта величина не зависит от диаметра капилляра, так как в итоговую формулу не входят ни радиус, ни диаметр капилляра, а только физические константы и свойства взаимодействующих веществ.