Номер 3, страница 406 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 87. Диэлектрики в электростатическом поле. Задачи - номер 3, страница 406.

Условие.

3. Свинцовый шарик плотностью $\rho_1 = 11,3 \cdot 10^3$ кг/м$^3$ помещён в глицерин плотностью $\rho_2 = 1,26 \cdot 10^3$ кг/м$^3$. Найдите заряд шарика, если в однородном электростатическом поле с напряжённостью $E = 400$ кВ/м, направленной вверх, шарик оказался взвешенным в глицерине. Диаметр шарика $D = 0,5$ см.

Решение.

Дано:

Плотность свинцового шарика $\rho_1 = 11,3 \cdot 10^3$ кг/м$^3$

Плотность глицерина $\rho_2 = 1,26 \cdot 10^3$ кг/м$^3$

Напряженность электростатического поля $E = 400$ кВ/м

Диаметр шарика $D = 0,5$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$E = 400 \text{ кВ/м} = 400 \cdot 10^3 \text{ В/м} = 4 \cdot 10^5$ В/м

$D = 0,5 \text{ см} = 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Заряд шарика $q$ - ?

Решение:

На свинцовый шарик, взвешенный в глицерине в однородном электростатическом поле, действуют три силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз, выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх, и электрическая сила $F_Э$, действующая со стороны поля.

Поскольку шарик находится в равновесии (взвешен), то векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{F}_{тяж} + \vec{F}_A + \vec{F}_Э = 0$

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось, направленную вверх. Сила тяжести направлена вниз, поэтому ее проекция отрицательна. Сила Архимеда и электрическое поле направлены вверх. Плотность свинца $\rho_1$ больше плотности глицерина $\rho_2$, поэтому сила тяжести $F_{тяж}$ больше силы Архимеда $F_A$. Следовательно, для равновесия электрическая сила $F_Э$ также должна быть направлена вверх. Так как вектор напряженности $\vec{E}$ направлен вверх, то заряд шарика $q$ должен быть положительным.

Условие равновесия в проекциях на вертикальную ось:

$F_A + F_Э - F_{тяж} = 0$

Отсюда электрическая сила равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

$F_Э = F_{тяж} - F_A$

Расшифруем каждую из сил:

Сила тяжести: $F_{тяж} = mg = \rho_1 V g$, где $m$ - масса шарика, $V$ - его объем.

Сила Архимеда: $F_A = \rho_2 g V$, где $\rho_2$ - плотность глицерина.

Электрическая сила: $F_Э = qE$.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$qE = \rho_1 V g - \rho_2 V g = (\rho_1 - \rho_2)Vg$

Объем шарика $V$ выражается через его диаметр $D$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{\pi D^3}{6}$

Подставим выражение для объема в уравнение для заряда:

$qE = (\rho_1 - \rho_2) \frac{\pi D^3}{6} g$

Выразим искомый заряд $q$:

$q = \frac{(\rho_1 - \rho_2) \pi D^3 g}{6E}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$q = \frac{(11,3 \cdot 10^3 - 1,26 \cdot 10^3) \text{ кг/м}^3 \cdot 3,14 \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{6 \cdot 4 \cdot 10^5 \text{ В/м}}$

$q = \frac{10,04 \cdot 10^3 \cdot 3,14 \cdot 125 \cdot 10^{-9} \cdot 9,8}{24 \cdot 10^5}$ Кл

$q = \frac{10,04 \cdot 3,14 \cdot 125 \cdot 9,8}{24} \cdot \frac{10^3 \cdot 10^{-9}}{10^5}$ Кл

$q = \frac{38612,9}{24} \cdot 10^{-11} \approx 1608,87 \cdot 10^{-11}$ Кл

Округлим результат и представим в стандартном виде:

$q \approx 1,61 \cdot 10^{-8}$ Кл или $16,1$ нКл.

Ответ: $q \approx 1,61 \cdot 10^{-8}$ Кл.