Номер 5, страница 406 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 87. Диэлектрики в электростатическом поле. Задачи - номер 5, страница 406.

Условие.

5. Два одинаково заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин, плотность которого $p = 0,8 \text{ г}/\text{см}^3$, а относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 2$. Найдите плотность материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине один и тот же.

Решение.

Дано

Плотность керосина $\rho = 0,8 \text{ г/см³}$

Относительная диэлектрическая проницаемость керосина $\varepsilon = 2$

Угол расхождения нитей в воздухе $\alpha_1$ и в керосине $\alpha_2$ одинаков: $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$

Плотность воздуха $\rho_{возд} \approx 0$ (пренебрегаем силой Архимеда в воздухе)

Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon_{возд} \approx 1$

$\rho = 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см³}} = 0,8 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 0,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}$

Найти:

Плотность материала шариков $\rho_ш$

Решение

Рассмотрим равновесие одного из шариков. На него действуют три силы: сила тяжести $F_g$, сила натяжения нити $T$ и сила электростатического отталкивания $F_e$. Пусть $\theta$ - угол отклонения нити от вертикали. Тогда угол расхождения нитей равен $2\theta$. Так как угол расхождения одинаков в обоих случаях, то и угол $\theta$ одинаков.

1. Шарики в воздухе.

На шарик действуют: сила тяжести $F_g = mg = \rho_ш V g$, сила натяжения нити $T_1$ и сила Кулона $F_{e1}$.

Условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T_1 \sin\theta = F_{e1}$

$T_1 \cos\theta = F_g$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\theta = \frac{F_{e1}}{F_g} \quad (1)$

2. Шарики в керосине.

На шарик действуют: сила тяжести $F_g$, сила натяжения нити $T_2$, сила Кулона в керосине $F_{e2}$ и выталкивающая сила Архимеда $F_A$.

$F_A = \rho V g$, где $\rho$ - плотность керосина.

Сила Кулона в диэлектрической среде ослабляется в $\varepsilon$ раз по сравнению с вакуумом (и воздухом, для которого $\varepsilon_{возд} \approx 1$):

$F_{e2} = \frac{F_{e1}}{\varepsilon}$

Условия равновесия в проекциях на оси:

$T_2 \sin\theta = F_{e2}$

$T_2 \cos\theta + F_A = F_g \implies T_2 \cos\theta = F_g - F_A$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\theta = \frac{F_{e2}}{F_g - F_A} \quad (2)$

Так как угол $\theta$ в обоих случаях одинаков, приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{F_{e1}}{F_g} = \frac{F_{e2}}{F_g - F_A}$

Подставим выражения для сил: $F_{e2} = \frac{F_{e1}}{\varepsilon}$, $F_g = \rho_ш V g$, $F_A = \rho V g$.

$\frac{F_{e1}}{\rho_ш V g} = \frac{F_{e1}/\varepsilon}{\rho_ш V g - \rho V g}$

Сократим общие множители $F_{e1}$, $V$ и $g$ (они не равны нулю):

$\frac{1}{\rho_ш} = \frac{1/\varepsilon}{\rho_ш - \rho}$

$\frac{1}{\rho_ш} = \frac{1}{\varepsilon(\rho_ш - \rho)}$

Отсюда следует:

$\varepsilon(\rho_ш - \rho) = \rho_ш$

$\varepsilon \rho_ш - \varepsilon \rho = \rho_ш$

$\varepsilon \rho_ш - \rho_ш = \varepsilon \rho$

$\rho_ш(\varepsilon - 1) = \varepsilon \rho$

$\rho_ш = \frac{\varepsilon \rho}{\varepsilon - 1}$

Подставим числовые значения:

$\rho_ш = \frac{2 \cdot 800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}}{2 - 1} = \frac{1600}{1} = 1600 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}$

Или в г/см³:

$\rho_ш = \frac{2 \cdot 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см³}}}{2 - 1} = 1,6 \frac{\text{г}}{\text{см³}}$

Ответ: плотность материала шариков равна $1600 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}$ (или $1,6 \frac{\text{г}}{\text{см³}}$).