Номер 9, страница 91 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

*9. Начальное состояние газа характеризуется параметрами $p_1$ и $V_1$. При каком расширении — изотермическом или изобарном — до объема $V_2$ газ совершает большую работу?

Дано:

Начальное состояние газа: давление $p_1$, объем $V_1$.

Конечное состояние газа: объем $V_2$ (причем $V_2 > V_1$, так как происходит расширение).

Рассматриваются два процесса расширения:

1. Изобарное расширение ($p = p_1 = \text{const}$).

2. Изотермическое расширение ($T = \text{const}$).

Найти:

Сравнить работу, совершаемую газом в этих двух процессах ($A_{изоб}$ и $A_{изот}$), и определить, в каком случае она больше.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в общем случае вычисляется по формуле $A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$. Геометрически эта работа равна площади фигуры под графиком процесса в координатах давление-объем ($p-V$).

1. Изобарное расширение.

В этом процессе давление газа остается постоянным и равным начальному давлению $p_1$. Работа, совершаемая газом, вычисляется по формуле:

$A_{изоб} = p_1 \cdot (V_2 - V_1)$

На $p-V$ диаграмме этот процесс изображается отрезком горизонтальной прямой от точки $(V_1, p_1)$ до точки $(V_2, p_1)$. Работа $A_{изоб}$ равна площади прямоугольника под этим отрезком.

2. Изотермическое расширение.

В этом процессе температура газа остается постоянной. Согласно закону Бойля-Мариотта, давление газа обратно пропорционально его объему: $p \cdot V = \text{const}$. Для начального состояния это произведение равно $p_1V_1$. Таким образом, в ходе расширения давление газа $p$ будет уменьшаться по закону $p(V) = \frac{p_1V_1}{V}$.

Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении, вычисляется как интеграл:

$A_{изот} = \int_{V_1}^{V_2} p(V) dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1V_1}{V} dV = p_1V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

На $p-V$ диаграмме этот процесс изображается кривой, называемой изотермой (ветвь гиперболы), которая начинается в точке $(V_1, p_1)$ и идет вниз. Работа $A_{изот}$ равна площади криволинейной трапеции под этой изотермой.

Сравнение работ.

Сравним оба процесса, представив их на одной $p-V$ диаграмме. Оба процесса начинаются в одной и той же точке 1 с координатами $(V_1, p_1)$.

Как видно из графика, при изобарном процессе давление постоянно и равно $p_1$. При изотермическом процессе, как только объем $V$ становится больше $V_1$, давление $p(V) = p_1V_1/V$ становится меньше $p_1$. Это означает, что для любого объема в интервале $(V_1, V_2]$ давление при изобарном расширении выше, чем при изотермическом. График изобарного процесса (изобара, синяя линия) лежит выше графика изотермического процесса (изотермы, красная линия) на всем участке расширения, за исключением общей начальной точки.

Поскольку работа численно равна площади под графиком процесса, то площадь под изобарой (сумма голубой и розовой областей) будет больше, чем площадь под изотермой (розовая область). Таким образом, $A_{изоб} > A_{изот}$.

Это также можно доказать строго математически. Сравним выражения для работы: $A_{изоб} = p_1(V_2 - V_1)$ и $A_{изот} = p_1V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$. Пусть $x = V_2/V_1$. Так как это расширение, $x > 1$. Требуется сравнить $p_1V_1(x - 1)$ и $p_1V_1 \ln(x)$. Это эквивалентно сравнению функций $f(x) = x - 1$ и $g(x) = \ln(x)$ при $x > 1$. Известно, что для всех $x > 1$ выполняется неравенство $x - 1 > \ln(x)$. Таким образом, работа при изобарном расширении всегда больше, чем при изотермическом, если они начинаются из одного и того же состояния и заканчиваются при одном и том же объеме.

Ответ:

Газ совершает большую работу при изобарном расширении.