Номер 1, страница 122 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

1. Докажите, что работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в электрическом поле равна нулю.

1. Дано:

Электростатическое поле, характеризуемое вектором напряженности $\vec{E}$.

Пробный заряд $q$.

Замкнутая траектория перемещения заряда $L$.

Доказать:

Работа $A$ по перемещению заряда $q$ по замкнутой траектории $L$ равна нулю ($A = 0$).

Решение:

По определению, работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда $q$ из точки 1 в точку 2, вычисляется как интеграл от силы $\vec{F}$ по траектории перемещения $d\vec{l}$:

$A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l}$

Сила, действующая на заряд $q$ в электростатическом поле с напряженностью $\vec{E}$, равна $\vec{F} = q\vec{E}$.

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} q\vec{E} \cdot d\vec{l} = q \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Электростатическое поле является потенциальным (или консервативным). Это означает, что работа, совершаемая полем, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда. Для такого поля вводится скалярная характеристика — потенциал $\phi$.

Связь между напряженностью поля и потенциалом выражается формулой $\vec{E} = -\nabla\phi$, где $\nabla\phi$ — градиент потенциала.

Тогда работа может быть выражена через разность потенциалов в начальной и конечной точках:

$A_{1 \to 2} = q \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -q \int_{1}^{2} \nabla\phi \cdot d\vec{l}$

Согласно теореме о градиенте, интеграл от градиента скалярной функции по некоторой кривой равен разности значений этой функции в конечной и начальной точках:

$\int_{1}^{2} \nabla\phi \cdot d\vec{l} = \phi_2 - \phi_1$

где $\phi_1$ и $\phi_2$ — потенциалы в начальной (1) и конечной (2) точках соответственно.

Таким образом, работа поля равна:

$A_{1 \to 2} = -q(\phi_2 - \phi_1) = q(\phi_1 - \phi_2)$

Рассмотрим перемещение заряда по замкнутой траектории. Для замкнутой траектории начальная точка 1 и конечная точка 2 совпадают.

Следовательно, потенциал в начальной точке равен потенциалу в конечной точке: $\phi_1 = \phi_2$.

Подставим это условие в формулу для работы:

$A = q(\phi_1 - \phi_1) = q \cdot 0 = 0$

Иначе говоря, свойство потенциальности электростатического поля математически выражается тем, что циркуляция вектора напряженности $\vec{E}$ по любому замкнутому контуру $L$ равна нулю:

$\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электростатики.

Поскольку работа по замкнутому контуру $A = q \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}$, то из равенства циркуляции нулю следует, что и работа равна нулю:

$A = q \cdot 0 = 0$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в электростатическом поле равна нулю. Это является следствием того, что электростатическое поле консервативно (потенциально). Для консервативного поля работа не зависит от пути, а определяется лишь разностью потенциалов начальной и конечной точек. Для замкнутой траектории начальная и конечная точки совпадают, поэтому разность потенциалов и, следовательно, работа равны нулю.