Номер 5, страница 127, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Докажите закон сохранения и превращения энергии.

Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы. Он гласит: энергия в замкнутой (изолированной) физической системе сохраняется с течением времени. Энергия не может возникать из ничего и не может исчезать в никуда, она может только переходить из одной формы в другую.

Доказательство этого закона в общем виде выходит за рамки школьной программы, так как он является обобщением огромного количества экспериментальных данных. Однако можно строго доказать частный случай этого закона – закон сохранения полной механической энергии для системы, в которой действуют только консервативные силы.

Доказательство закона сохранения механической энергии

Рассмотрим движение тела (материальной точки) массой $\text{m}$ под действием некоторой равнодействующей силы $\vec{F}$. Согласно второму закону Ньютона: $m\vec{a} = \vec{F}$, где $\vec{a}$ – ускорение тела.

Найдем работу $\text{A}$, которую совершает эта сила при перемещении тела из точки 1 в точку 2. Работа определяется как: $A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{r}$, где $d\vec{r}$ – элементарное перемещение.

Подставим выражение для силы из второго закона Ньютона: $A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} m\vec{a} \cdot d\vec{r}$

Учтем, что ускорение – это производная скорости по времени ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$), а элементарное перемещение – это произведение скорости на элементарный промежуток времени ($d\vec{r} = \vec{v}dt$).

$A_{1 \to 2} = \int_{t_1}^{t_2} m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt$

Используем математическое тождество: $\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt}$. Отсюда $\vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{1}{2}\frac{d(v^2)}{dt}$.

Подставим это в интеграл: $A_{1 \to 2} = \int_{t_1}^{t_2} m \left(\frac{1}{2}\frac{d(v^2)}{dt}\right) dt = \int_{v_1}^{v_2} d\left(\frac{mv^2}{2}\right)$

Вычисляя интеграл, получаем: $A_{1 \to 2} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k$

Это теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии.

Теперь разделим все силы, действующие на тело, на два типа: консервативные ($\vec{F}_k$) и неконсервативные (например, сила трения, $\vec{F}_{нк}$). Тогда полная работа $A_{1 \to 2}$ равна сумме работ этих сил: $A_{1 \to 2} = A_k + A_{нк}$.

Работа консервативных сил по определению равна убыли потенциальной энергии системы: $A_k = E_{p1} - E_{p2} = -\Delta E_p$.

Подставим это в теорему о кинетической энергии: $A_k + A_{нк} = E_{k2} - E_{k1}$ $(E_{p1} - E_{p2}) + A_{нк} = E_{k2} - E_{k1}$

Перегруппируем слагаемые: $E_{k1} + E_{p1} + A_{нк} = E_{k2} + E_{p2}$

Сумму кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергии называют полной механической энергией $E = E_k + E_p$. Тогда: $E_1 + A_{нк} = E_2$

Это выражение показывает, что изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.

Если в системе неконсервативные силы отсутствуют или их работа равна нулю ($A_{нк} = 0$), то: $E_1 = E_2$, или $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} = \text{const}$

Это и есть математическое выражение закона сохранения полной механической энергии: в системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия остается постоянной.

Превращение энергии

Закон говорит не только о сохранении, но и о превращении энергии. Это означает, что один вид энергии может переходить в другой, но их общая сумма в изолированной системе остается неизменной.

Если работа неконсервативных сил не равна нулю (например, есть трение), то механическая энергия не сохраняется. $A_{нк}$ обычно отрицательна (сила трения направлена против движения), поэтому $E_2 < E_1$. "Потерянная" механическая энергия не исчезает, а переходит в другую, немеханическую форму, чаще всего во внутреннюю (тепловую) энергию. То есть, тела нагреваются.

Таким образом, обобщенный закон сохранения энергии можно записать как: $\Delta E_k + \Delta E_p + \Delta U = A_{внеш}$ где $\Delta U$ – изменение внутренней энергии, а $A_{внеш}$ – работа внешних сил. Для изолированной системы ($A_{внеш}=0$) полная энергия (сумма механической и внутренней) сохраняется.

Примерами превращения энергии служат: падение камня, при котором его потенциальная энергия ($E_p = mgh$) превращается в кинетическую ($E_k = \frac{mv^2}{2}$); торможение автомобиля, когда его кинетическая энергия за счет работы силы трения в тормозах превращается во внутреннюю энергию (нагрев); работа электрической лампочки, где электрическая энергия превращается в световую и тепловую; работа аккумулятора, в котором химическая энергия превращается в электрическую.

Ответ: Закон сохранения и превращения энергии является фундаментальным законом, утверждающим, что полная энергия изолированной системы постоянна. Энергия не создается и не уничтожается, а лишь преобразуется из одной формы в другую. В механике этот закон может быть доказан для систем с консервативными силами, где сумма кинетической и потенциальной энергии ($E = E_k + E_p$) остается постоянной. Наличие неконсервативных сил (например, трения) ведет к превращению механической энергии в другие виды, например, во внутреннюю (тепловую), при этом полная энергия системы, включая все ее виды, все равно сохраняется.