Номер 1, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Положите две игральные шашки на стекло. Толкните одну из них так, чтобы она ударила другую. Почему при этом первая шашка иногда останавливается, а другая приобретает скорость?

1. Это явление является наглядной демонстрацией законов сохранения импульса и сохранения энергии при упругих столкновениях.

Когда одна шашка (назовем ее первой) движется и ударяет вторую, покоящуюся шашку, происходит передача импульса и энергии. Ситуация, когда первая шашка останавливается, а вторая начинает двигаться, является идеальным случаем, который можно описать математически.

Дано:

Пусть $m_1$ — масса налетающей шашки, $m_2$ — масса покоящейся шашки. Так как шашки игральные и, скорее всего, одинаковые, их массы равны: $m_1 = m_2 = m$.

Пусть $v_1$ — скорость первой шашки непосредственно перед столкновением.

Пусть $v_2 = 0$ — скорость второй шашки перед столкновением (она покоится).

Пусть $u_1$ и $u_2$ — скорости первой и второй шашек соответственно сразу после столкновения.

Найти:

Найти скорости $u_1$ и $u_2$ после столкновения и объяснить, почему $u_1$ может быть равна нулю.

Решение:

Рассмотрим систему из двух шашек. Так как они находятся на гладком стекле, силой трения можно пренебречь. Следовательно, система близка к замкнутой, и для нее выполняются законы сохранения.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. В проекции на направление движения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Подставив известные значения ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$):

$m v_1 + 0 = m u_1 + m u_2$

Сократим массу $\text{m}$:

$v_1 = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии. Столкновение твердых шашек на твердой поверхности близко к абсолютно упругому удару, при котором кинетическая энергия системы сохраняется.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставив известные значения и сократив $\frac{m}{2}$:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Решим ее. Выразим $u_1$ из уравнения (1): $u_1 = v_1 - u_2$. Подставим это в уравнение (2):

$v_1^2 = (v_1 - u_2)^2 + u_2^2$

$v_1^2 = v_1^2 - 2 v_1 u_2 + u_2^2 + u_2^2$

$0 = -2 v_1 u_2 + 2 u_2^2$

$2 u_2 (u_2 - v_1) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $u_2 = 0$ или $u_2 = v_1$.

• Решение $u_2 = 0$ означает, что вторая шашка после удара осталась неподвижной. Это соответствует случаю, когда первая шашка просто не коснулась второй. Этот вариант нам не интересен.

• Решение $u_2 = v_1$ означает, что вторая шашка после удара приобретает скорость, равную начальной скорости первой шашки.

Теперь найдем скорость первой шашки после удара $u_1$, подставив $u_2 = v_1$ в уравнение (1):

$v_1 = u_1 + v_1 \implies u_1 = 0$

Таким образом, математически доказано, что при центральном упругом столкновении двух тел одинаковой массы налетающее тело останавливается ($u_1 = 0$), а покоящееся тело начинает двигаться с начальной скоростью первого ($u_2 = v_1$).

Слово "иногда" в вопросе подчеркивает, что такой идеальный результат наблюдается только при определенных условиях, а именно, когда удар является центральным (линия, соединяющая центры шашек, совпадает с направлением скорости) и упругим. Если удар нецентральный (скользящий) или часть энергии теряется на деформацию, звук или нагрев (неупругий удар), то первая шашка не остановится полностью, а продолжит движение с меньшей скоростью.

Ответ: При центральном упругом столкновении двух шашек одинаковой массы происходит полный обмен скоростями. Движущаяся шашка передает весь свой импульс и кинетическую энергию покоящейся шашке. В результате первая шашка останавливается, а вторая начинает двигаться с той скоростью, которую имела первая до столкновения. Это является следствием одновременного выполнения законов сохранения импульса и энергии.