Номер 1, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Цепочка массой 100 г и длиной 0,8 м лежит так, что один конец ее свешивается с края стола. Цепочка начинает соскальзывать, когда свешивающаяся часть составляет $\frac{1}{4}$ ее длины. Найдите импульс цепочки в тот момент, когда она полностью соскользнет со стола.

(Ответы. $0,46 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$)

Дано:

Масса цепочки, $m = 100 \text{ г}$

Длина цепочки, $L = 0,8 \text{ м}$

Начальная свешивающаяся длина, $L_1 = L/4$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

Импульс цепочки в момент полного соскальзывания, $\text{p}$.

Решение:

Импульс цепочки $\text{p}$ определяется как произведение ее массы $\text{m}$ на скорость $\text{v}$ в данный момент времени:

$p = m \cdot v$

Для нахождения скорости цепочки в момент, когда она полностью соскользнет со стола, воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (силы трения).

$\Delta E = W_{тр}$

$(K_2 - K_1) + (U_2 - U_1) = W_{тр}$

где $K_1$ и $U_1$ — начальная кинетическая и потенциальная энергия, $K_2$ и $U_2$ — конечная кинетическая и потенциальная энергия, $W_{тр}$ — работа силы трения.

1. Определение коэффициента трения $\mu$.

Цепочка начинает соскальзывать, когда сила тяжести, действующая на свешивающуюся часть, становится равной максимальной силе трения покоя, действующей на часть, лежащую на столе.

Масса свешивающейся части: $m_1 = \frac{L/4}{L} m = \frac{1}{4}m$.

Сила тяжести свешивающейся части: $F_{тяж} = m_1 g = \frac{1}{4}mg$.

Масса части на столе: $m_{ст} = m - m_1 = \frac{3}{4}m$.

Сила нормальной реакции: $N = m_{ст} g = \frac{3}{4}mg$.

Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.ст.} = \mu N = \mu \frac{3}{4}mg$.

Из условия начала скольжения $F_{тяж} = F_{тр.ст.}$:

$\frac{1}{4}mg = \mu \frac{3}{4}mg$

Отсюда находим коэффициент трения (считая, что коэффициент трения скольжения равен коэффициенту трения покоя):

$\mu = \frac{1}{3}$

2. Расчет энергий и работы.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность стола.

Начальное состояние (состояние 1): свешивается $1/4$ длины, скорость равна нулю.

Кинетическая энергия $K_1 = 0$.

Потенциальная энергия $U_1$ определяется положением центра масс свешивающейся части (массой $m/4$), который находится на глубине $(L/4)/2 = L/8$ под столом. Потенциальная энергия части на столе равна нулю.

$U_1 = -m_1 g \frac{L/4}{2} = -\frac{m}{4} g \frac{L}{8} = -\frac{mgL}{32}$

Конечное состояние (состояние 2): вся цепочка соскользнула, ее скорость равна $\text{v}$.

Кинетическая энергия $K_2 = \frac{1}{2}mv^2$.

Потенциальная энергия $U_2$ определяется положением центра масс всей цепочки, который находится на глубине $L/2$ под столом.

$U_2 = -mg\frac{L}{2}$

Работа силы трения $W_{тр}$.

Сила трения изменяется по мере соскальзывания цепочки. Пусть $\text{y}$ — длина свешивающейся части. Тогда длина части на столе равна $L-y$. Сила трения в этот момент: $F_{тр}(y) = \mu N(y) = \mu \frac{L-y}{L}mg$.

Работа силы трения при увеличении свешивающейся части от $L/4$ до $\text{L}$:

$W_{тр} = \int_{L/4}^{L} -F_{тр}(y) dy = \int_{L/4}^{L} -\mu \frac{mg}{L}(L-y) dy$

$W_{тр} = -\frac{\mu mg}{L} [Ly - \frac{y^2}{2}]_{L/4}^{L} = -\frac{\mu mg}{L} [ (L^2 - \frac{L^2}{2}) - (L\frac{L}{4} - \frac{(L/4)^2}{2}) ]$

$W_{тр} = -\frac{\mu mg}{L} [ \frac{L^2}{2} - (\frac{L^2}{4} - \frac{L^2}{32}) ] = -\frac{\mu mg}{L} [ \frac{16L^2}{32} - \frac{7L^2}{32} ] = -\frac{9\mu mgL}{32}$

Подставим $\mu=1/3$:

$W_{тр} = -\frac{9(1/3) mgL}{32} = -\frac{3mgL}{32}$

3. Нахождение скорости.

Подставляем все в уравнение энергетического баланса:

$(\frac{1}{2}mv^2 - 0) + (-mg\frac{L}{2} - (-\frac{mgL}{32})) = -\frac{3mgL}{32}$

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{16mgL}{32} + \frac{mgL}{32} = -\frac{3mgL}{32}$

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{15mgL}{32} = -\frac{3mgL}{32}$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{15mgL}{32} - \frac{3mgL}{32} = \frac{12mgL}{32} = \frac{3mgL}{8}$

Сократим массу $\text{m}$ и найдем $v^2$:

$v^2 = \frac{3gL}{4}$

$v = \sqrt{\frac{3gL}{4}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м}}{4}} = \sqrt{\frac{23,52}{4}} = \sqrt{5,88} \approx 2,425 \text{ м/с}$

4. Нахождение импульса.

$p = m \cdot v = 0,1 \text{ кг} \cdot 2,425 \text{ м/с} \approx 0,2425 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем 0,24 кг·м/с. (Примечание: данный ответ отличается от приведенного в задаче, что может указывать на ошибку в условии или в ответе задачника. Представленное решение является физически и математически корректным.)

Ответ: $p \approx 0,24 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.