Номер 4, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. Доска длиной $L = 32 \text{ см}$ движется с постоянной скоростью по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 20.10). Какую минимальную скорость $v_0$ нужно сообщить доске, чтобы она смогла полностью въехать на длинный участок шероховатой поверхности? Коэффициент трения между доской и поверхностью на шероховатом участке $\mu = 0,2$.

Рис. 20.10

(Ответ: 8,8 м/с)

*4 Дано:

$L = 32 \text{ см}$

$\mu = 0,2$

$L = 0,32 \text{ м}$

Найти:

$v_0$

Решение:

Для того чтобы доска смогла полностью въехать на шероховатый участок, ее начальная кинетическая энергия должна быть достаточной для совершения работы против силы трения. Минимальная скорость $v_0$ соответствует случаю, когда скорость доски становится равной нулю в тот момент, когда она полностью оказывается на шероховатой поверхности.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело.

$\Delta E_к = A_{тр}$

Начальная кинетическая энергия доски: $E_{к0} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $\text{m}$ - масса доски.

Конечная кинетическая энергия: $E_{к1} = 0$.

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_к = E_{к1} - E_{к0} = -\frac{mv_0^2}{2}$.

Работа силы трения $A_{тр}$ совершается по мере того, как доска въезжает на шероховатый участок. Сила трения не постоянна, она зависит от длины части доски, находящейся на шероховатой поверхности.

Пусть $\text{x}$ — это длина части доски, которая уже находится на шероховатой поверхности. Будем считать, что доска однородна. Тогда масса этой части доски равна $m_x = \frac{m}{L}x$.

Сила нормальной реакции, действующая на эту часть, равна $N_x = m_x g = \frac{mg}{L}x$.

Сила трения, действующая на доску в этот момент, равна $F_{тр}(x) = \mu N_x = \mu \frac{mg}{L}x$.

Работа силы трения при перемещении доски на бесконечно малое расстояние $dx$ равна $dA_{тр} = -F_{тр}(x)dx$.

Полная работа силы трения за время, пока доска полностью въезжает на шероховатый участок (т.е. перемещается на расстояние $\text{L}$), равна интегралу:

$A_{тр} = \int_0^L -F_{тр}(x)dx = -\int_0^L \mu \frac{mg}{L}x dx = -\mu \frac{mg}{L} \int_0^L x dx$

$A_{тр} = -\mu \frac{mg}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = -\mu \frac{mg}{L} \frac{L^2}{2} = -\frac{\mu mgL}{2}$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии и работу силы трения:

$-\frac{mv_0^2}{2} = -\frac{\mu mgL}{2}$

Сократив общие множители, получим:

$v_0^2 = \mu gL$

$v_0 = \sqrt{\mu gL}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{0,2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,32 \text{ м}} = \sqrt{2 \cdot 0,32} \text{ м/с} = \sqrt{0,64} \text{ м/с} = 0,8 \text{ м/с}$.

Ответ: $0,8 \text{ м/с}$.