Номер 5, страница 132, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. Длинная тонкая тяжелая нить длиной $l = 80 \text{ см}$ и массой $m = 2 \text{ кг}$ лежит на шероховатом столе так, что со стола свешивается половина ее длины. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы втащить нить на стол, прикладывая к ней горизонтальную силу? Коэффициент трения между столом и нитью $\mu = 0,3$, на краю стола закреплен маленький ролик, по которому нить скользит без трения.

(Ответ: $3,8 \text{ Дж}$)

Дано:

$l = 80 \text{ см}$

$m = 2 \text{ кг}$

$\mu = 0,3$

Часть нити на столе = $l/2$

Свешивающаяся часть нити = $l/2$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,8 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$A_{min}$ - ?

Решение:

Минимальная работа, которую нужно совершить, чтобы втащить нить на стол, пойдет на увеличение потенциальной энергии свешивающейся части нити и на преодоление силы трения, действующей на часть нити, лежащую на столе.

По закону сохранения энергии, работа внешней силы равна изменению полной механической энергии системы плюс работа, совершенная силами трения:

$A = \Delta E_p + A_{тр}$

где $\Delta E_p$ - изменение потенциальной энергии нити, а $A_{тр}$ - работа против силы трения.

1. Найдем изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность стола.

В начальном состоянии половина нити длиной $l/2$ и массой $m/2$ свешивается со стола. Центр масс этой части находится на глубине $h = (l/2)/2 = l/4$ относительно поверхности стола.

Начальная потенциальная энергия системы: $E_{p1} = -\frac{m}{2}gh = -\frac{m}{2}g\frac{l}{4} = -\frac{mgl}{8}$.

В конечном состоянии вся нить лежит на столе, ее потенциальная энергия $E_{p2} = 0$.

Изменение потенциальной энергии: $\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = 0 - (-\frac{mgl}{8}) = \frac{mgl}{8}$.

2. Найдем работу против силы трения $A_{тр}$.

Сила трения зависит от массы части нити, находящейся на столе, которая изменяется в процессе втягивания.

Пусть $\text{x}$ - длина части нити, которую уже втянули на стол ($\text{x}$ изменяется от $\text{0}$ до $l/2$).

В произвольный момент времени на столе находится часть нити длиной $l_{стол} = \frac{l}{2} + x$.

Линейная плотность нити $\lambda = m/l$.

Масса части нити на столе: $m_{стол} = \lambda \cdot l_{стол} = \frac{m}{l}(\frac{l}{2} + x)$.

Сила трения, действующая в этот момент: $F_{тр}(x) = \mu N = \mu m_{стол} g = \mu g \frac{m}{l}(\frac{l}{2} + x)$.

Элементарная работа $dA_{тр}$ на малом перемещении $dx$ равна $dA_{тр} = F_{тр}(x)dx$.

Полная работа против силы трения найдется интегрированием по всей длине втягиваемой части нити:

$A_{тр} = \int_{0}^{l/2} F_{тр}(x)dx = \int_{0}^{l/2} \mu g \frac{m}{l}(\frac{l}{2} + x)dx$

$A_{тр} = \mu g \frac{m}{l} \int_{0}^{l/2} (\frac{l}{2} + x)dx = \mu g \frac{m}{l} \left[ \frac{l}{2}x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l/2}$

$A_{тр} = \mu g \frac{m}{l} \left( (\frac{l}{2}\frac{l}{2} + \frac{(l/2)^2}{2}) - 0 \right) = \mu g \frac{m}{l} \left( \frac{l^2}{4} + \frac{l^2}{8} \right) = \mu g \frac{m}{l} \frac{3l^2}{8} = \frac{3}{8}\mu mgl$

3. Найдем полную работу $\text{A}$.

$A = \Delta E_p + A_{тр} = \frac{mgl}{8} + \frac{3}{8}\mu mgl = \frac{mgl}{8}(1 + 3\mu)$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{2 \cdot 10 \cdot 0,8}{8}(1 + 3 \cdot 0,3) = \frac{16}{8}(1 + 0,9) = 2 \cdot 1,9 = 3,8 \text{ Дж}$

Ответ: 3,8 Дж.