Номер 6, страница 132, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Трактор массой 10 т, развивающий мощность 232 кВт, поднимается в гору со скоростью 3 м/с. Определите коэффициент трения, если угол наклона горы $30^\circ$.

(Ответ: 0,31)

6. Дано:

Масса трактора, $m = 10$ т

Мощность, $P = 232$ кВт

Скорость, $v = 3$ м/с

Угол наклона, $\alpha = 30^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Перевод всех данных в систему СИ:

$m = 10 \cdot 1000 = 10000$ кг

$P = 232 \cdot 1000 = 232000$ Вт

Найти:

Коэффициент трения, $\mu$

Решение:

Трактор движется в гору с постоянной скоростью, следовательно, его ускорение равно нулю. По первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю.

На трактор действуют четыре силы: сила тяги $F_т$, сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$.

Запишем уравнения движения в проекциях на оси координат. Ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Проекция на ось $Ox$:

$F_т - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Проекция на ось $Oy$:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$

Из второго уравнения выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $\text{N}$, получим:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Мощность двигателя связана с силой тяги и скоростью формулой $P = F_т \cdot v$. Отсюда сила тяги равна:

$F_т = \frac{P}{v}$

Теперь подставим выражения для $F_т$ и $F_{тр}$ в уравнение для оси $Ox$:

$\frac{P}{v} - mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = 0$

Из этого уравнения выразим искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu mg \cos(\alpha) = \frac{P}{v} - mg \sin(\alpha)$

$\mu = \frac{\frac{P}{v} - mg \sin(\alpha)}{mg \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$\sin(30^\circ) = 0.5$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\mu = \frac{\frac{232000 \text{ Вт}}{3 \text{ м/с}} - 10000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.5}{10000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.866}$

$\mu = \frac{77333.33 \text{ Н} - 50000 \text{ Н}}{86600 \text{ Н}}$

$\mu = \frac{27333.33 \text{ Н}}{86600 \text{ Н}} \approx 0.3156$

Округляя до сотых, получаем $\mu \approx 0.32$.

(Примечание: Ответ в задачнике (0,31) мог быть получен при несколько иных исходных данных, например, мощности около 230 кВт).

Ответ: $\mu \approx 0.32$