Номер 8, страница 132, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. Определите скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть силу притяжения Земли (вторую космическую скорость).

(Ответ: 11,3 км/с)

8. Дано:

Для расчета второй космической скорости нам понадобятся справочные данные для планеты Земля. В школьных задачах часто используют округленные значения, которые приводят к ответу из условия.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Радиус Земли: $R \approx 6400 \text{ км}$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v_{II}$ — вторая космическая скорость.

Решение:

Вторая космическая скорость (или скорость убегания) — это наименьшая начальная скорость, которую необходимо придать телу на поверхности небесного объекта, чтобы оно преодолело его гравитационное притяжение и удалилось на бесконечно большое расстояние.

Чтобы тело покинуло гравитационное поле Земли, его полная механическая энергия $\text{E}$ должна быть неотрицательной ($E \ge 0$). Полная механическая энергия складывается из кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергии.

$E = E_k + E_p$

Начальная кинетическая энергия тела массы $\text{m}$ у поверхности Земли равна $E_k = \frac{mv_{II}^2}{2}$.

Потенциальная энергия этого тела в гравитационном поле Земли (при условии, что на бесконечности она равна нулю) определяется как $E_p = -\frac{GMm}{R}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус Земли.

Минимальная скорость соответствует случаю, когда на бесконечности тело останавливается, то есть его полная энергия там равна нулю. По закону сохранения энергии, начальная полная энергия также должна быть равна нулю:

$E = \frac{mv_{II}^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0$

Сокращая массу тела $\text{m}$, получаем:

$\frac{v_{II}^2}{2} = \frac{GM}{R}$

Отсюда вторая космическая скорость равна:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения на поверхности Земли $\text{g}$. Так как по определению $g = \frac{GM}{R^2}$, то $GM = gR^2$. Подставим это в формулу для скорости:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2gR}$

Теперь подставим округленные числовые значения, которые были приведены в разделе "Дано":

$v_{II} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \sqrt{128 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{128} \cdot 10^3 \text{ м/с}$

$v_{II} \approx 11.314 \cdot 10^3 \text{ м/с} \approx 11314 \text{ м/с}$

Переведем результат в километры в секунду:

$v_{II} \approx 11.3 \text{ км/с}$

Полученный результат совпадает с ответом, указанным в задаче.

Для справки: при использовании более точных значений ($g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$, $R \approx 6371 \text{ км}$) вторая космическая скорость составляет примерно $11.2 \text{ км/с}$.

Ответ: скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть силу притяжения Земли, составляет примерно $11.3 \text{ км/с}$.