Номер 2, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*2. Лыжник массой 70 кг спускается с горы, длина которой 800 м, а угол наклона к горизонту 30°. На половине пути он стреляет из ракетницы вертикально вверх. Ракета массой 100 г вылетает из ракетницы со скоростью 100 м/с. Определите скорость лыжника в конце спуска. Начальную скорость лыжника считать равной нулю. Коэффициент трения лыж о снег 0,1.

(Ответы. 80,5 м/с)

*2 Дано:

Масса лыжника, $M = 70$ кг

Длина горы, $L = 800$ м

Угол наклона, $α = 30o $

Масса ракеты, $m_р = 100$ г

Скорость вылета ракеты, $u = 100$ м/с

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Коэффициент трения, $μ = 0,1$

Ускорение свободного падения, $g = 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

Масса ракеты, $m_р = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

Скорость лыжника в конце спуска, $v_к$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа: движение лыжника по первой половине склона (до выстрела) и движение по второй половине склона (после выстрела).

Этап 1: Движение на первой половине пути.

Лыжник спускается с нулевой начальной скоростью. Найдем его скорость $v_1$ на середине пути, то есть после прохождения расстояния $s_1 = L/2 = 400$ м.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

$\Delta K_1 = A_{сопр} + A_{тяж}$

Изменение кинетической энергии: $\Delta K_1 = \frac{M v_1^2}{2} - \frac{M v_0^2}{2} = \frac{M v_1^2}{2}$

Работа силы тяжести: $A_{тяж} = M g h_1 = M g s_1 \sin(\alpha)$

Работа силы трения: $A_{сопр} = -F_{тр} s_1$. Сила трения $F_{тр} = \mu N$, где сила нормальной реакции опоры $N = M g \cos(\alpha)$.

Следовательно, $A_{сопр} = -\mu M g \cos(\alpha) s_1$.

Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии:

$\frac{M v_1^2}{2} = M g s_1 \sin(\alpha) - \mu M g s_1 \cos(\alpha)$

Сократив массу $\text{M}$, получим выражение для квадрата скорости:

$v_1^2 = 2 g s_1 (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения:

$s_1 = 800 / 2 = 400$ м

$\sin(30o ) = 0,5$

$\cos(30o ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$v_1^2 = 2 \cdot 9,8 \cdot 400 \cdot (0,5 - 0,1 \cdot 0,866) = 7840 \cdot (0,5 - 0,0866) = 7840 \cdot 0,4134 = 3241,056 \text{ (м/с)}^2$

Этап 2: Выстрел и движение на второй половине пути.

На середине пути лыжник стреляет из ракетницы. Выстрел — это очень быстрый процесс (импульс). В условии сказано, что выстрел произведен "вертикально вверх". В таких задачах часто подразумевается, что выстрел производится перпендикулярно направлению движения (перпендикулярно склону). В этом случае импульс, полученный лыжником от ракеты, не имеет составляющей вдоль склона и, следовательно, не меняет мгновенно скорость лыжника в направлении спуска. Таким образом, сразу после выстрела скорость лыжника остается $v_1$, но его масса уменьшается и становится $M' = M - m_р = 70 - 0,1 = 69,9$ кг.

Теперь рассмотрим движение лыжника по второй половине склона. Начальная скорость для этого этапа $v_1$, а конечная $v_к$. Пройденное расстояние $s_2 = L/2 = 400$ м. Масса лыжника $M' = 69,9$ кг.

Снова применим теорему об изменении кинетической энергии:

$\frac{M' v_к^2}{2} - \frac{M' v_1^2}{2} = M' g s_2 \sin(\alpha) - \mu M' g s_2 \cos(\alpha)$

Сократим новую массу $M'$:

$\frac{v_к^2}{2} - \frac{v_1^2}{2} = g s_2 (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Заметим, что правая часть уравнения, умноженная на 2, совпадает с выражением для $v_1^2$ из первого этапа, так как $s_1 = s_2$.

$g s_2 (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) = \frac{v_1^2}{2}$

Подставим это в наше уравнение:

$\frac{v_к^2}{2} - \frac{v_1^2}{2} = \frac{v_1^2}{2}$

$v_к^2 = 2 v_1^2$

Теперь найдем конечную скорость $v_к$:

$v_к = \sqrt{2 v_1^2} = \sqrt{2 \cdot 3241,056} = \sqrt{6482,112} \approx 80,51 \text{ м/с}$

Округляя до десятых, получаем 80,5 м/с.

Ответ: скорость лыжника в конце спуска составит приблизительно 80,5 м/с.