Номер 2, страница 175, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Как вывести основное уравнение молекулярно-кинетической теории?

2. Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) устанавливает связь между макроскопической величиной – давлением газа ($\text{p}$) – и микроскопическими параметрами, характеризующими хаотическое движение его молекул: их массой ($m_0$), концентрацией ($\text{n}$) и средней скоростью движения.

Для вывода уравнения рассмотрим модель идеального газа, находящегося в сосуде кубической формы с ребром длиной $\text{L}$. Сделаем следующие допущения:

1. Молекулы газа представляют собой материальные точки, движущиеся хаотично и непрерывно.

2. Соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда абсолютно упругие.

3. Силами взаимодействия между молекулами на расстоянии можно пренебречь.

Давление газа на стенки сосуда создается ударами молекул. Рассмотрим одну молекулу массой $m_0$, которая движется со скоростью $\text{v}$. Выберем систему координат с осями $OX, OY, OZ$, параллельными ребрам куба.

Пусть компонента скорости молекулы вдоль оси $OX$ равна $v_x$. При столкновении со стенкой, перпендикулярной оси $OX$ (назовем ее правой стенкой), молекула упруго отскакивает. Ее проекция импульса на ось $OX$ до удара равна $m_0 v_x$, а после удара $-m_0 v_x$. Изменение импульса молекулы в результате одного удара составит:

$\Delta p_{1x} = -m_0 v_x - m_0 v_x = -2m_0 v_x$

Согласно третьему закону Ньютона, импульс, переданный стенке за одно столкновение, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса молекулы:

$p_{стенке} = 2m_0 |v_x|$

Чтобы снова удариться об эту же стенку, молекула должна долететь до противоположной стенки, отразиться от нее и вернуться обратно. Расстояние, которое она пролетит вдоль оси $OX$, равно $2L$. Время между двумя последовательными ударами одной и той же молекулы о правую стенку равно:

$\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}$

Сила, с которой одна молекула в среднем действует на стенку, равна импульсу, переданному за одно столкновение, деленному на промежуток времени между столкновениями:

$f_1 = \frac{p_{стенке}}{\Delta t} = \frac{2m_0 |v_x|}{2L / |v_x|} = \frac{m_0 v_x^2}{L}$

В сосуде находится $\text{N}$ молекул, и они движутся с разными скоростями. Полная сила $\text{F}$, действующая на стенку, создается всеми $\text{N}$ молекулами. Для ее нахождения нужно просуммировать силы от всех молекул. Так как у всех молекул разные скорости, мы должны использовать среднее значение квадрата проекции скорости:

$F = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0 v_{ix}^2}{L} = \frac{N m_0}{L} \overline{v_x^2}$

где $\overline{v_x^2}$ – средний квадрат проекции скорости на ось $OX$.

Давление $\text{p}$ есть отношение силы к площади стенки $S=L^2$:

$p = \frac{F}{S} = \frac{N m_0 \overline{v_x^2}}{L \cdot L^2} = \frac{N m_0 \overline{v_x^2}}{L^3}$

Объем куба $V = L^3$. Тогда $p = \frac{N m_0 \overline{v_x^2}}{V}$.

Так как движение молекул хаотично, все направления равноправны, поэтому средние значения квадратов проекций скорости на оси координат равны:

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

Полный квадрат скорости молекулы $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$. Среднее значение квадрата скорости (средняя квадратичная скорость):

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$

Отсюда находим $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

Подставим это выражение в формулу для давления:

$p = \frac{N m_0}{V} \cdot \frac{1}{3}\overline{v^2} = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2}$

Величина $n = \frac{N}{V}$ является концентрацией молекул (число молекул в единице объема). Окончательно получаем основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Это уравнение можно также выразить через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $\overline{E_k} = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$. Для этого преобразуем уравнение:

$p = \frac{2}{3} n \left( \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} \right) = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$

Ответ:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории выводится путем рассмотрения упругих столкновений молекул идеального газа со стенкой сосуда. Давление определяется как средняя сила, действующая на единицу площади стенки, которая, в свою очередь, равна суммарному импульсу, передаваемому молекулами стенке за единицу времени. Учитывая хаотичность движения и усредняя по всем молекулам, устанавливается связь между макроскопическим давлением $\text{p}$ и микроскопическими параметрами: концентрацией молекул $\text{n}$, массой одной молекулы $m_0$ и средним квадратом их скорости $\overline{v^2}$. Итоговое уравнение имеет вид: $p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$, или, через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $\overline{E_k}$: $p = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$.