Номер 8, страница 195, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. Почему внутренняя энергия идеального газа зависит от того, сколько атомов содержится в молекуле газа?

Решение

Внутренняя энергия идеального газа ($\text{U}$) определяется как суммарная кинетическая энергия хаотического теплового движения всех его молекул. В модели идеального газа потенциальной энергией взаимодействия между молекулами пренебрегают, поэтому внутренняя энергия зависит только от температуры и строения молекул.

Кинетическая энергия одной молекулы складывается из энергий различных видов движения: поступательного, вращательного и колебательного. Возможность молекулы участвовать в этих видах движения описывается понятием числа степеней свободы ($\text{i}$). Число степеней свободы – это количество независимых координат, необходимых для полного описания положения и ориентации молекулы в пространстве.

Согласно фундаментальному положению молекулярно-кинетической теории (теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы), на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая энергия, равная $\frac{1}{2}kT$, где $\text{k}$ – постоянная Больцмана, а $\text{T}$ – абсолютная температура. Таким образом, средняя кинетическая энергия одной молекулы равна $ \langle E_k \rangle = \frac{i}{2}kT $.

Число степеней свободы $\text{i}$ напрямую зависит от того, сколько атомов содержит молекула и как они расположены:

1. Одноатомный газ (например, гелий He, неон Ne). Молекула представляет собой один атом, который можно рассматривать как материальную точку. Такая частица может двигаться только поступательно вдоль трех координатных осей (x, y, z). Следовательно, она имеет 3 поступательные степени свободы. Вращение точки вокруг себя не изменяет ее положения в пространстве, поэтому вращательные степени свободы отсутствуют. Таким образом, для одноатомного газа $i=3$.

2. Двухатомный газ (например, кислород O₂, азот N₂). Молекула состоит из двух атомов. Такая система имеет 3 степени свободы поступательного движения (движение центра масс). Кроме того, она может вращаться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс и перпендикулярных оси, соединяющей атомы. Вращение вокруг самой оси, соединяющей атомы, не учитывается, так как момент инерции относительно этой оси пренебрежимо мал. Таким образом, добавляются 2 вращательные степени свободы. Общее число степеней свободы (без учета колебаний атомов) равно $i = 3 + 2 = 5$.

3. Многоатомный газ (например, водяной пар H₂O, углекислый газ CO₂). Молекула, состоящая из трех и более атомов, также имеет 3 поступательные степени свободы. Если атомы в молекуле не лежат на одной прямой (нелинейная молекула), она может вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Таким образом, она имеет 3 вращательные степени свободы. Общее число степеней свободы для такой молекулы (без учета колебаний) равно $i = 3 + 3 = 6$.

Полная внутренняя энергия газа, содержащего количество вещества $\nu$, выражается формулой:

$ U = \frac{i}{2}\nu RT $

где $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Как видно из формулы, внутренняя энергия $\text{U}$ прямо пропорциональна числу степеней свободы $\text{i}$. Поскольку число степеней свободы определяется количеством атомов в молекуле газа, то и внутренняя энергия напрямую зависит от этого. Например, при одинаковой температуре и одинаковом количестве вещества внутренняя энергия одного моля двухатомного газа ($i=5$) будет в $5/3$ раза больше, чем внутренняя энергия одного моля одноатомного газа ($i=3$).

Ответ: Внутренняя энергия идеального газа является суммой кинетических энергий его молекул. Молекулы могут двигаться поступательно, вращаться и совершать колебания. Количество атомов в молекуле определяет ее геометрическую структуру и, следовательно, количество возможных независимых движений, называемых степенями свободы ($\text{i}$). Например, одноатомная молекула имеет 3 степени свободы, двухатомная — 5, а многоатомная — 6 или более. Согласно закону о равномерном распределении энергии, на каждую степень свободы приходится определенная доля энергии. Полная внутренняя энергия газа пропорциональна числу степеней свободы ($U = \frac{i}{2}\nu RT$). Таким образом, чем больше атомов в молекуле, тем больше у нее степеней свободы и тем больше внутренняя энергия газа при той же температуре.