Номер 6, страница 85, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Спираль электрического чайника изготовлена из нихромовой проволоки сечением $0.5 \text{ мм}^2$. В чайнике находится $1.5 \text{ л}$ воды, и он подключен к сети с напряжением $220 \text{ В}$. Вода в чайнике за $4 \text{ мин}$ нагревается от $298 \text{ К}$ до $373 \text{ К}$. Какова длина проволоки, если КПД чайника $75\%$?

(Ответ: $17 \text{ см}$)

Дано:

Площадь поперечного сечения проволоки, $S = 0,5 \text{ мм}^2$

Объем воды, $V = 1,5 \text{ л}$

Напряжение в сети, $U = 220 \text{ В}$

Время нагрева, $t = 4 \text{ мин}$

Начальная температура воды, $T_1 = 298 \text{ К}$

Конечная температура воды, $T_2 = 373 \text{ К}$

КПД чайника, $\eta = 75\%$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Удельное сопротивление нихрома, $\rho_н = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$S = 0,5 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$V = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t = 4 \cdot 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$

$\eta = 0,75$

Найти:

Длину проволоки, $\text{l}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) чайника определяется как отношение полезной теплоты, пошедшей на нагрев воды ($Q_п$), к полной работе, совершенной электрическим током ($A_з$):

$\eta = \frac{Q_п}{A_з}$

Полезная теплота, необходимая для нагрева воды, вычисляется по формуле:

$Q_п = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)$

Массу воды $\text{m}$ найдем через её объем $\text{V}$ и плотность $\rho_в$:

$m = \rho_в \cdot V$

Таким образом, полезная теплота равна:

$Q_п = c \cdot \rho_в \cdot V \cdot (T_2 - T_1)$

Работа электрического тока (или полная выделившаяся теплота) за время $\text{t}$ определяется по закону Джоуля-Ленца:

$A_з = P \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$

где $\text{R}$ – сопротивление спирали чайника. Сопротивление проводника можно выразить через его геометрические размеры и материал:

$R = \frac{\rho_н \cdot l}{S}$

где $\rho_н$ – удельное сопротивление нихрома, $\text{l}$ – искомая длина проволоки, $\text{S}$ – площадь её поперечного сечения.

Подставим выражение для сопротивления $\text{R}$ в формулу для работы тока:

$A_з = \frac{U^2 \cdot S}{\rho_н \cdot l} \cdot t$

Теперь подставим выражения для $Q_п$ и $A_з$ в формулу для КПД:

$\eta = \frac{Q_п}{A_з} = \frac{c \cdot \rho_в \cdot V \cdot (T_2 - T_1)}{\frac{U^2 \cdot S \cdot t}{\rho_н \cdot l}} = \frac{c \cdot \rho_в \cdot V \cdot (T_2 - T_1) \cdot \rho_н \cdot l}{U^2 \cdot S \cdot t}$

Из этого уравнения выразим искомую длину проволоки $\text{l}$:

$l = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot S \cdot t}{c \cdot \rho_в \cdot V \cdot (T_2 - T_1) \cdot \rho_н}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$l = \frac{0,75 \cdot (220 \text{ В})^2 \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 240 \text{ с}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot (373 \text{ К} - 298 \text{ К}) \cdot 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

$l = \frac{0,75 \cdot 48400 \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \cdot 240}{4200 \cdot 1000 \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \cdot 75 \cdot 1,1 \cdot 10^{-6}}$

$l = \frac{4356000 \cdot 10^{-6}}{519750 \cdot 10^{-6}} = \frac{4356000}{519750} \approx 8,38 \text{ м}$

Ответ: длина проволоки составляет приблизительно $8,38 \text{ м}$.