Номер 3, страница 85, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. К концам алюминиевого и медного проводников одного сечения и массы приложены одинаковые напряжения. В каком проводнике сила тока больше и во сколько раз?

(Ответ: в медном в 5,43 раза)

Дано:

Алюминиевый (Al) и медный (Cu) проводники.

Площадь сечения: $S_{Al} = S_{Cu} = S$

Масса: $m_{Al} = m_{Cu} = m$

Напряжение: $U_{Al} = U_{Cu} = U$

Удельное сопротивление алюминия: $\rho_{Al} = 0.028 \ \text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}$

Удельное сопротивление меди: $\rho_{Cu} = 0.017 \ \text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}$

Плотность алюминия: $d_{Al} = 2700 \ \text{кг/м}^3$

Плотность меди: $d_{Cu} = 8900 \ \text{кг/м}^3$

Перевод в СИ:

$\rho_{Al} = 0.028 \cdot (10^{-3} \text{м})^2/\text{м} = 0.028 \times 10^{-6} \ \text{Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_{Cu} = 0.017 \cdot (10^{-3} \text{м})^2/\text{м} = 0.017 \times 10^{-6} \ \text{Ом} \cdot \text{м}$

Остальные величины даны в СИ или являются относительными.

Найти:

В каком проводнике сила тока больше и во сколько раз? (Найти отношение $\frac{I_{Cu}}{I_{Al}}$)

Решение:

Сила тока в проводнике определяется по закону Ома:

$I = \frac{U}{R}$

Поскольку напряжение $\text{U}$ на концах обоих проводников одинаково, сила тока будет больше в том проводнике, у которого меньше электрическое сопротивление $\text{R}$.

Найдем отношение сил тока в медном и алюминиевом проводниках:

$\frac{I_{Cu}}{I_{Al}} = \frac{U / R_{Cu}}{U / R_{Al}} = \frac{R_{Al}}{R_{Cu}}$

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Подставим это выражение в отношение сопротивлений:

$\frac{R_{Al}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} \frac{l_{Al}}{S}}{\rho_{Cu} \frac{l_{Cu}}{S}}$

Поскольку площади сечения $\text{S}$ одинаковы, они сокращаются:

$\frac{R_{Al}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} l_{Al}}{\rho_{Cu} l_{Cu}}$

Длины проводников $l_{Al}$ и $l_{Cu}$ неизвестны, но мы можем выразить их через массу $\text{m}$, плотность $\text{d}$ и площадь сечения $\text{S}$. Масса проводника равна произведению его плотности на объем $V = l \cdot S$:

$m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$

Отсюда выразим длину:

$l = \frac{m}{d \cdot S}$

Так как массы $\text{m}$ и площади сечения $\text{S}$ у проводников одинаковы, их длины равны:

$l_{Al} = \frac{m}{d_{Al} \cdot S}$ и $l_{Cu} = \frac{m}{d_{Cu} \cdot S}$

Теперь подставим выражения для длин в формулу для отношения сопротивлений:

$\frac{R_{Al}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} \cdot \frac{m}{d_{Al} \cdot S}}{\rho_{Cu} \cdot \frac{m}{d_{Cu} \cdot S}} = \frac{\rho_{Al}/d_{Al}}{\rho_{Cu}/d_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} d_{Cu}}{\rho_{Cu} d_{Al}}$

Таким образом, отношение сил тока равно:

$\frac{I_{Cu}}{I_{Al}} = \frac{R_{Al}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} d_{Cu}}{\rho_{Cu} d_{Al}}$

Подставим табличные значения (можно использовать как значения в СИ, так и исходные, так как единицы измерения в итоговом соотношении сократятся):

$\frac{I_{Cu}}{I_{Al}} = \frac{(0.028 \times 10^{-6} \ \text{Ом} \cdot \text{м}) \cdot (8900 \ \text{кг/м}^3)}{(0.017 \times 10^{-6} \ \text{Ом} \cdot \text{м}) \cdot (2700 \ \text{кг/м}^3)} = \frac{0.028 \cdot 8900}{0.017 \cdot 2700} = \frac{249.2}{45.9} \approx 5.429$

Округляя до сотых, получаем $\approx 5.43$.

Так как отношение $\frac{I_{Cu}}{I_{Al}} > 1$, сила тока в медном проводнике больше, чем в алюминиевом.

Ответ: сила тока больше в медном проводнике, примерно в 5,43 раза.