Номер 6, страница 84, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Как надо соединить обмотки двух нагревателей, опущенных в сосуд с водой, чтобы вода закипела быстрее?

Дано:

Два нагревателя с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$.

Источник питания с постоянным напряжением $\text{U}$.

Найти:

Способ соединения нагревателей, при котором вода закипит быстрее всего.

Решение:

Для того чтобы вода закипела быстрее, необходимо, чтобы нагревательные элементы выделяли тепло с максимальной скоростью. Скорость выделения тепла — это мощность $\text{P}$. Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты $\text{Q}$, выделяемое за время $\text{t}$, равно $Q = P \cdot t$. Чтобы нагреть воду до кипения за минимальное время $\text{t}$, нужно обеспечить максимальную мощность $\text{P}$.

Мощность, выделяемая на участке цепи, зависит от напряжения $\text{U}$ и общего сопротивления $R_{общ}$ этого участка: $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$. Поскольку напряжение источника питания $\text{U}$ является постоянной величиной, для достижения максимальной мощности $\text{P}$ необходимо минимизировать общее сопротивление $R_{общ}$ цепи.

Рассмотрим два возможных способа соединения двух нагревателей: последовательное и параллельное.

При последовательном соединении нагреватели включаются в цепь один за другим. Общее сопротивление в этом случае равно сумме сопротивлений каждого нагревателя:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

При параллельном соединении оба нагревателя подключаются к одним и тем же точкам цепи. Величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме обратных величин сопротивлений каждого нагревателя:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Отсюда общее сопротивление при параллельном соединении составляет:

$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Теперь сравним полученные общие сопротивления. Для любых положительных значений $R_1$ и $R_2$ сопротивление при параллельном соединении всегда меньше, чем при последовательном:

$R_{пар} < R_{посл}$

Это можно показать математически: $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < R_1 + R_2$, так как это неравенство эквивалентно $R_1 R_2 < (R_1 + R_2)^2 = R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2$, что сводится к $0 < R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2$, а это выражение всегда положительно для положительных сопротивлений.

Поскольку $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$, меньшему сопротивлению соответствует большая мощность. Следовательно, мощность при параллельном соединении ($P_{пар}$) будет больше мощности при последовательном соединении ($P_{посл}$):

$P_{пар} > P_{посл}$

Таким образом, при параллельном соединении нагреватели будут выделять больше тепла в единицу времени, и вода закипит быстрее.

Ответ: Чтобы вода закипела быстрее, обмотки двух нагревателей следует соединить параллельно.