Номер 4, страница 85, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. В сеть включены параллельно электрический чайник и кастрюля разной емкости, потребляющие мощности 1000 Вт и 500 Вт, соответственно. Вода комнатной температуры в них закипает одновременно через 4 мин. На сколько минут позже закипит вода в чайнике, чем в кастрюле, если их включить в ту же сеть последовательно?

(Ответ: 4,5 мин)

Дано:

Мощность чайника при параллельном включении, $P_1 = 1000$ Вт

Мощность кастрюли при параллельном включении, $P_2 = 500$ Вт

Время закипания при параллельном включении, $t_p = 4$ мин

Перевод в систему СИ:

$t_p = 4 \text{ мин} = 4 \cdot 60 \text{ c} = 240 \text{ c}$

Найти:

$\Delta t$ - на сколько минут позже закипит вода в чайнике, чем в кастрюле, при последовательном включении.

Решение:

1. Найдем сопротивления чайника ($R_1$) и кастрюли ($R_2$). При параллельном подключении напряжение сети $\text{U}$ одинаково для обоих приборов. Мощность $\text{P}$, напряжение $\text{U}$ и сопротивление $\text{R}$ связаны формулой $P = U^2/R$, откуда $R = U^2/P$.

$R_1 = \frac{U^2}{P_1}$

$R_2 = \frac{U^2}{P_2}$

Найдем отношение их сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{U^2/P_2}{U^2/P_1} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{1000 \text{ Вт}}{500 \text{ Вт}} = 2$

Таким образом, $R_2 = 2R_1$.

2. Определим количество теплоты ($\text{Q}$), необходимое для кипячения воды в каждом сосуде. По условию, при параллельном подключении вода закипает одновременно за время $t_p$. Количество теплоты, выделяемое нагревателем, равно $Q = P \cdot t$.

Для чайника: $Q_1 = P_1 \cdot t_p$

Для кастрюли: $Q_2 = P_2 \cdot t_p$

Это то количество теплоты, которое необходимо сообщить воде для закипания, и оно не зависит от способа подключения.

3. Теперь рассмотрим последовательное подключение. Приборы соединены последовательно, значит, через них протекает один и тот же ток $I_s$.

Общее сопротивление цепи: $R_s = R_1 + R_2 = R_1 + 2R_1 = 3R_1$.

Сила тока в цепи: $I_s = \frac{U}{R_s} = \frac{U}{R_1 + R_2}$.

Мощности, выделяемые на приборах при последовательном подключении ($P'_1$ и $P'_2$), будут другими:

$P'_1 = I_s^2 \cdot R_1 = \left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 R_1$

$P'_2 = I_s^2 \cdot R_2 = \left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 R_2$

4. Найдем время закипания ($t'_1$ и $t'_2$) для каждого прибора при последовательном подключении. Время закипания $t' = Q / P'$.

Для чайника:

$t'_1 = \frac{Q_1}{P'_1} = \frac{P_1 \cdot t_p}{\left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 R_1}$

Подставим $P_1 = U^2/R_1$:

$t'_1 = \frac{(U^2/R_1) \cdot t_p}{\frac{U^2}{(R_1+R_2)^2} R_1} = \frac{t_p}{R_1^2} (R_1+R_2)^2 = t_p \left(\frac{R_1+R_2}{R_1}\right)^2 = t_p \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)^2$

Аналогично для кастрюли:

$t'_2 = \frac{Q_2}{P'_2} = \frac{P_2 \cdot t_p}{\left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 R_2} = t_p \left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)^2$

5. Выполним расчеты, используя $t_p=4$ мин, $R_2/R_1 = 2$ и $R_1/R_2 = 0.5$.

Время закипания для чайника:

$t'_1 = 4 \cdot (1 + 2)^2 = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ мин.

Время закипания для кастрюли:

$t'_2 = 4 \cdot (1 + 0.5)^2 = 4 \cdot (1.5)^2 = 4 \cdot 2.25 = 9$ мин.

6. Найдем, на сколько минут позже закипит вода в чайнике, чем в кастрюле:

$\Delta t = t'_1 - t'_2 = 36 \text{ мин} - 9 \text{ мин} = 27$ мин.

Ответ: вода в чайнике закипит на 27 минут позже, чем в кастрюле.