Номер 4, страница 68 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.5. Газовые законы. Закон Бойля—Мариотта - номер 4, страница 68.

Условие.

4. Объясните закон Бойля—Мариотта на основе молекулярно-кинетической теории.

Решение.

Решение

Закон Бойля—Мариотта утверждает, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объём является величиной постоянной. Этот закон описывает изотермический процесс и математически выражается как $pV = \text{const}$.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории (МКТ), давление газа на стенки сосуда является результатом многочисленных ударов молекул газа об эти стенки. Объясним закон Бойля—Мариотта на основе основных положений МКТ:

1. Постоянная температура ($T = \text{const}$): Согласно МКТ, температура газа пропорциональна средней кинетической энергии его молекул ($E_k \sim T$). Если температура не меняется, то и средняя кинетическая энергия, а следовательно, и средняя скорость хаотического движения молекул, остаются постоянными. Это означает, что сила каждого отдельного удара молекулы о стенку сосуда в среднем не изменяется.

2. Изменение объёма ($\text{V}$): Рассмотрим, что происходит при изменении объёма сосуда, в котором находится газ.

• Уменьшение объёма: Если объём газа уменьшить (например, сдвинуть поршень в цилиндре), то концентрация молекул (число молекул в единице объёма, $n = N/V$) увеличится, так как то же самое количество молекул $\text{N}$ теперь занимает меньшее пространство. В результате молекулы будут чаще сталкиваться со стенками сосуда. Поскольку средняя скорость молекул осталась прежней, а число ударов о стенки в единицу времени возросло, суммарная сила, действующая на стенки, увеличится. Это приводит к увеличению давления $\text{p}$.

• Увеличение объёма: Если объём газа увеличить, концентрация молекул $\text{n}$ уменьшится. Молекулам придётся преодолевать большее расстояние, чтобы достичь стенок сосуда, поэтому частота их ударов о стенки уменьшится. Так как средняя скорость молекул не изменилась, уменьшение частоты ударов приведёт к уменьшению давления $\text{p}$.

Таким образом, при постоянной температуре уменьшение объёма ведёт к увеличению давления, а увеличение объёма — к его уменьшению, что и представляет собой обратную пропорциональность, описываемую законом Бойля—Мариотта.

Математически это можно вывести из основного уравнения МКТ для давления идеального газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $\text{n}$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

Подставим в это уравнение выражение для концентрации $n = N/V$, где $\text{N}$ — общее число молекул в объёме $\text{V}$:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2}$

Перегруппируем члены уравнения:

$pV = \frac{1}{3} N m_0 \overline{v^2}$

В условиях изотермического процесса ($T = \text{const}$) для данной массы газа (масса $m = \text{const}$, следовательно, и число молекул $N = \text{const}$) величины в правой части уравнения — число молекул $\text{N}$, масса одной молекулы $m_0$ и средний квадрат скорости $\overline{v^2}$ (который зависит только от температуры) — являются постоянными. Следовательно, вся правая часть уравнения является константой. Таким образом, мы получаем $pV = \text{const}$, что и является математической формулировкой закона Бойля—Мариотта.

Ответ: Согласно молекулярно-кинетической теории, давление газа создаётся ударами его молекул о стенки сосуда. Закон Бойля—Мариотта выполняется при постоянной температуре, что означает постоянство средней кинетической энергии и скорости молекул. При уменьшении объёма газа его молекулы оказываются в более тесном пространстве, их концентрация возрастает. Это приводит к увеличению частоты ударов молекул о стенки сосуда, и, как следствие, к увеличению давления. Наоборот, при увеличении объёма концентрация молекул и частота их ударов о стенки уменьшаются, что ведёт к снижению давления. Таким образом, при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объёму.