Номер 2, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.1. Работа в термодинамике - номер 2, страница 144.

Условие.

2. Как вычислить работу, совершаемую газом?

Решение.

Решение

Работа, совершаемая газом в термодинамике, определяется изменением его объема под действием давления. Если газ расширяется, он совершает положительную работу над окружающими телами. Если газ сжимается, внешние силы совершают над ним положительную работу, а работа самого газа считается отрицательной. Вычисление работы зависит от характера термодинамического процесса.

Общий случай: Произвольный процесс

В общем виде работа $\text{A}$, совершаемая газом при изменении его объема от начального $V_1$ до конечного $V_2$, вычисляется как интеграл от давления $\text{p}$ по объему $\text{V}$. Давление в ходе процесса может меняться, поэтому оно рассматривается как функция объема $p(V)$.

$A = \int_{V_1}^{V_2} p dV$

Геометрически эта формула означает, что работа, совершаемая газом, численно равна площади фигуры под графиком процесса на диаграмме в координатах давление–объем ($p-V$). Если $V_2 > V_1$ (расширение), то работа газа положительна ($A > 0$). Если $V_2 < V_1$ (сжатие), то работа газа отрицательна ($A < 0$).

Частные случаи: Изопроцессы

Для основных термодинамических процессов (изопроцессов), в которых один из макроскопических параметров остается постоянным, существуют упрощенные формулы для расчета работы.

Изобарный процесс (постоянное давление, $p = \text{const}$)

Так как давление постоянно, его можно вынести за знак интеграла. Формула для работы принимает вид:

$A = p \int_{V_1}^{V_2} dV = p (V_2 - V_1) = p \Delta V$

где $\Delta V$ – это изменение объема газа.

Изохорный процесс (постоянный объем, $V = \text{const}$)

В этом процессе объем газа не изменяется, следовательно, $\Delta V = 0$. Газ не перемещает поршень или границы сосуда, поэтому работа не совершается.

$A = 0$

Изотермический процесс (постоянная температура, $T = \text{const}$)

Для идеального газа в изотермическом процессе давление обратно пропорционально объему согласно закону Бойля-Мариотта ($pV = \text{const}$). Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, выразим давление: $p = \frac{\nu RT}{V}$. Подставим в интеграл:

$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu RT}{V} dV = \nu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = \nu RT \ln\frac{V_2}{V_1}$

Поскольку $p_1V_1 = p_2V_2$, то $\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2}$, и формулу можно записать через давления:

$A = \nu RT \ln\frac{p_1}{p_2}$

Адиабатный процесс (без теплообмена, $Q = 0$)

В процессе, который происходит без теплообмена с окружающей средой, связь между давлением и объемом для идеального газа описывается уравнением Пуассона: $pV^\gamma = \text{const}$, где $\gamma$ – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Работа в таком процессе вычисляется по формуле:

$A = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1}$

Из первого начала термодинамики ($\Delta U = Q - A$) следует, что при $Q=0$ работа совершается исключительно за счет изменения внутренней энергии газа: $A = -\Delta U$. Для идеального газа работу можно выразить и через изменение температуры:

$A = \frac{\nu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$

Ответ: Работу, совершаемую газом, можно вычислить одним из следующих способов, в зависимости от условий процесса:
1. Графический метод: Работа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме давление-объем ($p-V$).
2. Общая формула (интегрирование): $A = \int_{V_1}^{V_2} p dV$, если известна функциональная зависимость $p(V)$.
3. Формулы для изопроцессов:
• При изобарном процессе ($p=\text{const}$): $A = p(V_2 - V_1)$.
• При изохорном процессе ($V=\text{const}$): $A = 0$.
• При изотермическом процессе ($T=\text{const}$): $A = \nu RT \ln\frac{V_2}{V_1}$.
• При адиабатном процессе ($Q=0$): $A = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1} = -\Delta U$.