Номер 1200, страница 158 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1200* Написать реакцию $\alpha$-распада радия $_{88}^{226}\text{Ra}$. Сравнить импульсы и кинетические энергии образовавшихся ядер, считая, что до распада ядро радия покоилось.

Дано:

Изотоп: $_{88}^{226}\text{Ra}$
Тип распада: α-распад
Начальное состояние: ядро радия покоится ($v_{\text{Ra}} = 0$)

Найти:

1. Уравнение реакции α-распада.
2. Сравнить импульсы образовавшихся ядер.
3. Сравнить кинетические энергии образовавшихся ядер.

Решение:

Реакция α-распада радия-226

α-распад представляет собой испускание ядром α-частицы, которая является ядром атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$. При ядерных реакциях выполняются законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z).

Запишем уравнение реакции для распада радия-226 ($_{88}^{226}\text{Ra}$), обозначив неизвестное дочернее ядро как $_{Z'}^{A'}\text{Y}$: $$_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{Z'}^{A'}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$

Согласно закону сохранения массового числа: $$226 = A' + 4 \implies A' = 226 - 4 = 222$$

Согласно закону сохранения зарядового числа: $$88 = Z' + 2 \implies Z' = 88 - 2 = 86$$

Элемент с зарядовым числом Z' = 86 — это радон (Rn). Следовательно, образуется изотоп радона-222.

Ответ: Уравнение реакции α-распада радия-226: $_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{86}^{222}\text{Rn} + _{2}^{4}\text{He}$.

Сравнение импульсов образовавшихся ядер

Так как до распада ядро радия покоилось, начальный импульс системы был равен нулю ($\vec{p}_{\text{нач}} = 0$). Распад ядра — это внутренний процесс, поэтому для системы, состоящей из продуктов распада, выполняется закон сохранения импульса.

Суммарный импульс системы после распада равен векторной сумме импульсов образовавшихся ядра радона ($\vec{p}_{\text{Rn}}$) и α-частицы ($\vec{p}_{\alpha}$): $$\vec{p}_{\text{кон}} = \vec{p}_{\text{Rn}} + \vec{p}_{\alpha}$$

Из закона сохранения импульса ($\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_{\text{кон}}$) следует: $$0 = \vec{p}_{\text{Rn}} + \vec{p}_{\alpha}$$ $$\vec{p}_{\text{Rn}} = - \vec{p}_{\alpha}$$

Это равенство означает, что импульсы ядра радона и α-частицы равны по модулю и противоположны по направлению.

Ответ: Импульсы образовавшихся в результате распада ядра радона и α-частицы равны по модулю ($p_{\text{Rn}} = p_{\alpha}$) и направлены в противоположные стороны.

Сравнение кинетических энергий образовавшихся ядер

Кинетическая энергия $E_k$ связана с импульсом $p$ и массой $m$ соотношением $E_k = \frac{p^2}{2m}$.

Запишем выражения для кинетических энергий ядра радона и α-частицы: $$E_{k, \text{Rn}} = \frac{p_{\text{Rn}}^2}{2m_{\text{Rn}}}$$ $$E_{k, \alpha} = \frac{p_{\alpha}^2}{2m_{\alpha}}$$

Поскольку модули импульсов равны ($p_{\text{Rn}} = p_{\alpha} = p$), кинетическая энергия обратно пропорциональна массе частицы: $E_k \propto \frac{1}{m}$.

Масса ядра радона-222 ($m_{\text{Rn}}$) значительно превышает массу α-частицы ($m_{\alpha}$), так как их массовые числа равны 222 и 4 соответственно. $$m_{\text{Rn}} \gg m_{\alpha}$$

Следовательно, кинетическая энергия более легкой α-частицы будет значительно больше кинетической энергии тяжелого ядра радона. Найдем их отношение: $$\frac{E_{k, \alpha}}{E_{k, \text{Rn}}} = \frac{p^2 / (2m_{\alpha})}{p^2 / (2m_{\text{Rn}})} = \frac{m_{\text{Rn}}}{m_{\alpha}}$$

Отношение масс можно приближенно считать равным отношению их массовых чисел: $$\frac{E_{k, \alpha}}{E_{k, \text{Rn}}} \approx \frac{A_{\text{Rn}}}{A_{\alpha}} = \frac{222}{4} = 55.5$$

Ответ: Кинетическая энергия α-частицы значительно больше кинетической энергии ядра радона. Отношение кинетической энергии α-частицы к кинетической энергии ядра радона обратно пропорционально отношению их масс и приблизительно равно 55.5.