Страница 158 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1193. Почему радиоактивные препараты хранят в толстостенных свинцовых контейнерах?

Радиоактивные препараты являются источниками ионизирующего излучения, которое представляет опасность для живых организмов и окружающей среды. Процесс радиоактивного распада сопровождается испусканием различных видов излучения, основными из которых являются альфа-частицы ($\alpha$), бета-частицы ($\beta$) и гамма-кванты ($\gamma$). Эти виды излучения обладают разной проникающей способностью.

• Альфа-излучение (представляет собой ядра атомов гелия) имеет очень низкую проникающую способность. Его может полностью остановить лист бумаги или даже верхний слой кожи.
• Бета-излучение (поток электронов или позитронов) более проникающее, чем альфа-излучение, но его можно задержать слоем алюминия толщиной в несколько миллиметров.
• Гамма-излучение (электромагнитное излучение высокой энергии) обладает самой высокой проникающей способностью. Оно способно проходить через значительные толщи материалов, и для защиты от него требуются специальные меры.

Именно для защиты от наиболее опасного и проникающего гамма-излучения радиоактивные препараты хранят в контейнерах из свинца. Свинец (Pb) является оптимальным материалом для этой цели по нескольким причинам:

1. Высокая плотность. Свинец — очень плотный металл, его плотность составляет около $11,34 \text{ г/см}^3$. Благодаря высокой плотности в малом объеме вещества содержится большое количество атомов, что увеличивает вероятность взаимодействия гамма-квантов с материалом и их поглощения.
2. Большой атомный номер. Свинец имеет большой атомный номер ($Z=82$). Эффективность поглощения гамма-лучей веществом сильно возрастает с увеличением атомного номера элемента. Это связано с тем, что основные механизмы взаимодействия гамма-излучения с веществом (фотоэлектрический эффект, комптоновское рассеяние) более вероятны для атомов с большим количеством электронов.

Необходимость использования именно толстостенных контейнеров объясняется характером поглощения гамма-излучения. Интенсивность излучения не падает до нуля мгновенно, а ослабляется по экспоненциальному закону при прохождении через вещество. Этот закон описывается формулой: $I = I_0 \cdot e^{-\mu x}$, где $I_0$ — начальная интенсивность излучения, $I$ — интенсивность после прохождения слоя толщиной $x$, а $\mu$ — линейный коэффициент ослабления, который зависит от материала поглотителя и энергии гамма-квантов. Чтобы ослабить интенсивность излучения до безопасного для человека уровня, необходима достаточная толщина защитного слоя ($x$). Чем выше активность препарата, тем толще должны быть стенки контейнера.

Ответ: Радиоактивные препараты хранят в толстостенных свинцовых контейнерах, так как свинец, обладая высокой плотностью и большим атомным номером, эффективно поглощает наиболее проникающее гамма-излучение. Толстые стенки контейнера необходимы для того, чтобы снизить интенсивность излучения до безопасного для человека и окружающей среды уровня.

1194. Каковы преимущества кобальтовой пушки перед рентгеновской установкой при обнаружении внутренних дефектов изделий?

Кобальтовая пушка, использующая в качестве источника излучения радиоактивный изотоп кобальт-60 ($^{60}\text{Co}$), обладает рядом существенных преимуществ перед рентгеновской установкой при проведении радиографического контроля (дефектоскопии) изделий. Эти преимущества обусловлены физическими свойствами гамма-излучения и конструктивными особенностями источника.

Высокая проникающая способность
Гамма-кванты, испускаемые изотопом $^{60}\text{Co}$, имеют очень высокую и постоянную энергию (две основные линии с энергиями $1.17 \text{ МэВ}$ и $1.33 \text{ МэВ}$). Это обеспечивает значительно большую проникающую способность по сравнению с рентгеновским излучением от большинства промышленных аппаратов. Благодаря этому кобальтовые пушки незаменимы для контроля очень толстых и плотных объектов, например, стальных изделий толщиной от 50 до 200 мм, крупных отливок, сварных швов массивных конструкций, где мощности рентгеновской установки может быть недостаточно.

Портативность и автономность
Источник гамма-излучения размещен в компактном и относительно легком контейнере (гамма-дефектоскопе), который не требует для своей работы подключения к электросети или водяного охлаждения. Это делает кобальтовую пушку полностью автономной и высокомобильной. Ее легко доставить и использовать в полевых условиях, на строительных площадках, при контроле трубопроводов, в судостроении и в других труднодоступных местах, куда невозможно или экономически нецелесообразно доставлять громоздкое рентгеновское оборудование с источником питания.

Простота конструкции и надежность
Конструкция гамма-дефектоскопа значительно проще, чем у рентгеновского аппарата. В ней отсутствуют сложная высоковольтная электроника, вакуумная рентгеновская трубка и система охлаждения. Это ведет к большей надежности оборудования и меньшим затратам на техническое обслуживание.

Возможность панорамного просвечивания
Небольшой размер капсулы с радиоактивным изотопом позволяет размещать ее, например, внутри трубы для одновременного контроля всего кольцевого сварного шва за одну экспозицию. Такой метод (панорамное просвечивание) значительно сокращает время контроля по сравнению с необходимостью делать несколько отдельных снимков с помощью рентгеновского аппарата.

Ответ: Основными преимуществами кобальтовой пушки перед рентгеновской установкой являются:
1. Более высокая проникающая способность гамма-излучения, позволяющая контролировать изделия большой толщины.
2. Полная автономность и портативность, так как установка не требует внешнего источника электроэнергии, что делает ее идеальной для работы в полевых и труднодоступных условиях.
3. Простота конструкции, которая обеспечивает высокую надежность и простоту в эксплуатации.
4. Возможность эффективного панорамного просвечивания, что ускоряет контроль объектов сложной формы (например, кольцевых сварных швов).

1195. Где больше длина свободного пробега $\alpha$-частицы — у поверхности Земли или в верхних слоях атмосферы?

Решение

Длина свободного пробега частицы — это среднее расстояние, которое частица проходит между двумя последовательными столкновениями с частицами среды. Эта величина обратно пропорциональна плотности (или концентрации) частиц среды, в которой движется частица.

Средняя длина свободного пробега $\lambda$ связана с концентрацией частиц среды $n$ и эффективным сечением столкновения $\sigma$ соотношением:

$\lambda = \frac{1}{n\sigma}$

Атмосфера Земли неоднородна по плотности. У поверхности Земли под действием силы тяжести плотность воздуха и, следовательно, концентрация $n$ его молекул максимальны. С увеличением высоты атмосфера становится все более разреженной, то есть плотность и концентрация молекул газа значительно уменьшаются.

Таким образом:

1. У поверхности Земли: высокая плотность воздуха ($n$ велико) приводит к частым столкновениям $\alpha$-частицы с молекулами воздуха, поэтому длина свободного пробега $\lambda$ будет небольшой.

2. В верхних слоях атмосферы: воздух сильно разрежен ($n$ мало), поэтому вероятность столкновения $\alpha$-частицы с молекулами воздуха значительно ниже. Частица сможет пролететь гораздо большее расстояние до столкновения, и длина свободного пробега $\lambda$ будет большой.

Из этого следует, что длина свободного пробега $\alpha$-частицы больше в верхних слоях атмосферы.

Ответ: Длина свободного пробега $\alpha$-частицы больше в верхних слоях атмосферы, так как там значительно ниже плотность воздуха.

1196. Какой изотоп образуется из урана $_{92}^{239}U$ после двух β-распадов и одного α-распада?

Дано:

Исходный изотоп: уран-239 ($_{92}^{239}\text{U}$)
Количество β-распадов: 2
Количество α-распадов: 1

Найти:

Конечный изотоп — $?

Решение:

Для решения задачи необходимо знать, как изменяются массовое число (A) и зарядовое число (Z) ядра при α- и β-распадах.

1. α-распад — это испускание ядром α-частицы, которая является ядром гелия ($_{2}^{4}\text{He}$). При этом массовое число ядра уменьшается на 4, а зарядовое число — на 2. Схема распада: $ _{Z}^{A}\text{X} \rightarrow _{Z-2}^{A-4}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He} $

2. β-распад (точнее, β⁻-распад) — это превращение одного из нейтронов ядра в протон с испусканием электрона ($_{-1}^{0}\text{e}$) и антинейтрино. При этом массовое число ядра не изменяется, а зарядовое число увеличивается на 1. Схема распада: $ _{Z}^{A}\text{X} \rightarrow _{Z+1}^{A}\text{Y} + _{-1}^{0}\text{e} + \bar{\nu}_e $

Рассмотрим последовательность распадов исходного ядра урана-239 ($_{92}^{239}\text{U}$). Порядок распадов не влияет на конечный результат.

Шаг 1: Первый β-распад
Изотоп урана-239 испытывает β-распад. Его зарядовое число увеличивается на 1, а массовое число остается прежним. $ _{92}^{239}\text{U} \rightarrow _{93}^{239}\text{X} + _{-1}^{0}\text{e} $
Элемент с зарядовым числом Z=93 — это нептуний (Np). Таким образом, образуется нептуний-239 ($_{93}^{239}\text{Np}$).

Шаг 2: Второй β-распад
Образовавшийся нептуний-239 также испытывает β-распад. $ _{93}^{239}\text{Np} \rightarrow _{94}^{239}\text{Y} + _{-1}^{0}\text{e} $
Элемент с зарядовым числом Z=94 — это плутоний (Pu). Таким образом, образуется плутоний-239 ($_{94}^{239}\text{Pu}$).

Шаг 3: α-распад
Полученный плутоний-239 испытывает α-распад. Его массовое число уменьшается на 4, а зарядовое число — на 2. $ _{94}^{239}\text{Pu} \rightarrow _{94-2}^{239-4}\text{Z} + _{2}^{4}\text{He} $
$ _{94}^{239}\text{Pu} \rightarrow _{92}^{235}\text{Z} + _{2}^{4}\text{He} $
Элемент с зарядовым числом Z=92 — это уран (U). Таким образом, конечным продуктом является изотоп уран-235 ($_{92}^{235}\text{U}$).

Общее уравнение реакции можно записать так: $ _{92}^{239}\text{U} \rightarrow _{Z'}^{A'}\text{X} + 2(_{-1}^{0}\text{e}) + 1(_{2}^{4}\text{He}) $

По законам сохранения массового и зарядового чисел:

$ 239 = A' + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \Rightarrow A' = 239 - 4 = 235 $

$ 92 = Z' + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \Rightarrow 92 = Z' - 2 + 2 \Rightarrow Z' = 92 $

Следовательно, конечный изотоп имеет массовое число 235 и зарядовое число 92. Это изотоп урана-235 ($_{92}^{235}\text{U}$).

Ответ: В результате двух β-распадов и одного α-распада из урана-239 ($_{92}^{239}\text{U}$) образуется изотоп уран-235 ($_{92}^{235}\text{U}$).

1197. В результате какого радиоактивного распада плутоний $^{\text{239}}_{\text{94}}\text{Pu}$ превращается в уран $^{\text{235}}_{\text{92}}\text{U}$?

Дано:

Исходный изотоп: плутоний-239 ($^{239}_{94}\text{Pu}$)
Конечный изотоп: уран-235 ($^{235}_{92}\text{U}$)

Найти:

Тип радиоактивного распада, в результате которого происходит данное превращение.

Решение:

Запишем уравнение ядерной реакции в общем виде. Превращение плутония в уран можно представить следующим образом: $$ ^{239}_{94}\text{Pu} \rightarrow ^{235}_{92}\text{U} + ^A_Z\text{X} $$ где $^A_Z\text{X}$ – неизвестная частица или частицы, испускаемые в результате распада.

Согласно закону сохранения массового числа, сумма массовых чисел продуктов распада должна быть равна массовому числу исходного ядра: $$ 239 = 235 + A $$ Отсюда находим массовое число неизвестной частицы $A$: $$ A = 239 - 235 = 4 $$

Согласно закону сохранения заряда, сумма зарядовых чисел (числа протонов) продуктов распада должна быть равна зарядовому числу исходного ядра: $$ 94 = 92 + Z $$ Отсюда находим зарядовое число неизвестной частицы $Z$: $$ Z = 94 - 92 = 2 $$

Таким образом, испускаемая частица $^A_Z\text{X}$ имеет массовое число $A=4$ и зарядовое число $Z=2$. Такой частицей является ядро атома гелия, или альфа-частица ($^4_2\text{He}$). Распад, при котором испускается альфа-частица, называется альфа-распадом.

Полное уравнение реакции выглядит так: $$ ^{239}_{94}\text{Pu} \rightarrow ^{235}_{92}\text{U} + ^4_2\text{He} $$

Ответ: превращение плутония-239 в уран-235 происходит в результате альфа-распада.

1198. В результате какого радиоактивного распада натрий $^{22}_{11}\text{Na}$ превращается в магний $^{22}_{12}\text{Mg}$?

Дано:

Начальный изотоп: натрий-22 ($_{11}^{22}Na$)
Конечный изотоп: магний-22 ($_{12}^{22}Mg$)

Найти:

Тип радиоактивного распада.

Решение:

Запишем уравнение ядерной реакции, в которой ядро натрия-22 превращается в ядро магния-22, испуская неизвестную частицу $X$:

$_{11}^{22}Na \rightarrow _{12}^{22}Mg + _{Z}^{A}X$

При радиоактивном распаде должны выполняться законы сохранения массового числа (числа нуклонов) и зарядового числа (числа протонов).

1. Согласно закону сохранения массового числа (верхний индекс), сумма массовых чисел продуктов распада должна быть равна массовому числу исходного ядра:
$22 = 22 + A$
Из этого уравнения следует, что массовое число испускаемой частицы $A = 0$.

2. Согласно закону сохранения заряда (нижний индекс), сумма зарядовых чисел продуктов распада должна быть равна зарядовому числу исходного ядра:
$11 = 12 + Z$
Из этого уравнения находим зарядовое число частицы $X$:
$Z = 11 - 12 = -1$.

Итак, неизвестная частица $X$ имеет массовое число $A=0$ и зарядовое число $Z=-1$. Такими характеристиками обладает электрон, который в ядерных реакциях обозначается как $_{-1}^{0}e$.

Процесс распада ядра, сопровождающийся испусканием электрона, называется бета-минус-распадом (или $\beta^{-}$-распадом). При этом в ядре один из нейтронов превращается в протон (что увеличивает зарядовое число на 1) и электрон, который покидает ядро. Массовое число ядра при этом не изменяется.

Полное уравнение реакции имеет вид:

$_{11}^{22}Na \rightarrow _{12}^{22}Mg + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$

где $\bar{\nu}_e$ — электронное антинейтрино.

Таким образом, превращение натрия-22 в магний-22 происходит в результате бета-минус-распада.

Ответ: бета-минус-распад ($\beta^{-}$-распад).

1199. Написать реакции $\alpha$-распада урана $_{92}^{238}\text{U}$ и $\beta$-распада свинца $_{82}^{209}\text{Pb}$.

α-распад урана ${}_{92}^{238}U$

Дано:

Исходное ядро: Уран-238, ${}_{92}^{238}U$.

Тип распада: α-распад.

Найти:

Записать уравнение реакции α-распада.

Решение:

Альфа-распад (α-распад) — это вид радиоактивного распада, при котором ядро испускает альфа-частицу, представляющую собой ядро атома гелия ${}_{2}^{4}He$.

При написании уравнения ядерной реакции необходимо соблюдать законы сохранения массового числа (суммарное число нуклонов) и зарядового числа (суммарный заряд в единицах элементарного заряда).

Правило смещения для α-распада гласит, что в результате испускания α-частицы массовое число $A$ исходного ядра уменьшается на 4, а зарядовое число $Z$ уменьшается на 2. Образуется ядро нового элемента, смещенного на две клетки к началу периодической системы Менделеева.

Общая схема реакции выглядит так:

${}_{Z}^{A}X \rightarrow {}_{Z-2}^{A-4}Y + {}_{2}^{4}He$

Для урана-238 (${}_{92}^{238}U$):

Исходное массовое число $A = 238$.

Исходное зарядовое число $Z = 92$.

Массовое число продукта распада: $A' = A - 4 = 238 - 4 = 234$.

Зарядовое число продукта распада: $Z' = Z - 2 = 92 - 2 = 90$.

Элемент с зарядовым числом $Z' = 90$ — это торий (Th).

Таким образом, в результате α-распада урана-238 образуется торий-234 (${}_{90}^{234}Th$) и α-частица.

Запишем уравнение реакции:

Ответ: ${}_{92}^{238}U \rightarrow {}_{90}^{234}Th + {}_{2}^{4}He$

β-распад свинца ${}_{82}^{209}Pb$

Дано:

Исходное ядро: Свинец-209, ${}_{82}^{209}Pb$.

Тип распада: β-распад (электронный).

Найти:

Записать уравнение реакции β-распада.

Решение:

Бета-распад (β-распад, точнее β⁻-распад) — это вид радиоактивного распада, при котором один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон (${}_{-1}^{0}e$, или β⁻-частица) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$).

Правило смещения для β⁻-распада гласит, что в результате распада массовое число $A$ ядра не изменяется, а зарядовое число $Z$ увеличивается на 1. Образуется ядро нового элемента, смещенного на одну клетку к концу периодической системы Менделеева.

Общая схема реакции выглядит так:

${}_{Z}^{A}X \rightarrow {}_{Z+1}^{A}Y + {}_{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$

Для свинца-209 (${}_{82}^{209}Pb$):

Исходное массовое число $A = 209$.

Исходное зарядовое число $Z = 82$.

Массовое число продукта распада: $A' = A = 209$.

Зарядовое число продукта распада: $Z' = Z + 1 = 82 + 1 = 83$.

Элемент с зарядовым числом $Z' = 83$ — это висмут (Bi).

Таким образом, в результате β⁻-распада свинца-209 образуется висмут-209 (${}_{83}^{209}Bi$), электрон и электронное антинейтрино.

Запишем уравнение реакции:

Ответ: ${}_{82}^{209}Pb \rightarrow {}_{83}^{209}Bi + {}_{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$

1200* Написать реакцию $\alpha$-распада радия $_{88}^{226}\text{Ra}$. Сравнить импульсы и кинетические энергии образовавшихся ядер, считая, что до распада ядро радия покоилось.

Дано:

Изотоп: $_{88}^{226}\text{Ra}$
Тип распада: α-распад
Начальное состояние: ядро радия покоится ($v_{\text{Ra}} = 0$)

Найти:

1. Уравнение реакции α-распада.
2. Сравнить импульсы образовавшихся ядер.
3. Сравнить кинетические энергии образовавшихся ядер.

Решение:

Реакция α-распада радия-226

α-распад представляет собой испускание ядром α-частицы, которая является ядром атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$. При ядерных реакциях выполняются законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z).

Запишем уравнение реакции для распада радия-226 ($_{88}^{226}\text{Ra}$), обозначив неизвестное дочернее ядро как $_{Z'}^{A'}\text{Y}$: $$_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{Z'}^{A'}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$

Согласно закону сохранения массового числа: $$226 = A' + 4 \implies A' = 226 - 4 = 222$$

Согласно закону сохранения зарядового числа: $$88 = Z' + 2 \implies Z' = 88 - 2 = 86$$

Элемент с зарядовым числом Z' = 86 — это радон (Rn). Следовательно, образуется изотоп радона-222.

Ответ: Уравнение реакции α-распада радия-226: $_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{86}^{222}\text{Rn} + _{2}^{4}\text{He}$.

Сравнение импульсов образовавшихся ядер

Так как до распада ядро радия покоилось, начальный импульс системы был равен нулю ($\vec{p}_{\text{нач}} = 0$). Распад ядра — это внутренний процесс, поэтому для системы, состоящей из продуктов распада, выполняется закон сохранения импульса.

Суммарный импульс системы после распада равен векторной сумме импульсов образовавшихся ядра радона ($\vec{p}_{\text{Rn}}$) и α-частицы ($\vec{p}_{\alpha}$): $$\vec{p}_{\text{кон}} = \vec{p}_{\text{Rn}} + \vec{p}_{\alpha}$$

Из закона сохранения импульса ($\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_{\text{кон}}$) следует: $$0 = \vec{p}_{\text{Rn}} + \vec{p}_{\alpha}$$ $$\vec{p}_{\text{Rn}} = - \vec{p}_{\alpha}$$

Это равенство означает, что импульсы ядра радона и α-частицы равны по модулю и противоположны по направлению.

Ответ: Импульсы образовавшихся в результате распада ядра радона и α-частицы равны по модулю ($p_{\text{Rn}} = p_{\alpha}$) и направлены в противоположные стороны.

Сравнение кинетических энергий образовавшихся ядер

Кинетическая энергия $E_k$ связана с импульсом $p$ и массой $m$ соотношением $E_k = \frac{p^2}{2m}$.

Запишем выражения для кинетических энергий ядра радона и α-частицы: $$E_{k, \text{Rn}} = \frac{p_{\text{Rn}}^2}{2m_{\text{Rn}}}$$ $$E_{k, \alpha} = \frac{p_{\alpha}^2}{2m_{\alpha}}$$

Поскольку модули импульсов равны ($p_{\text{Rn}} = p_{\alpha} = p$), кинетическая энергия обратно пропорциональна массе частицы: $E_k \propto \frac{1}{m}$.

Масса ядра радона-222 ($m_{\text{Rn}}$) значительно превышает массу α-частицы ($m_{\alpha}$), так как их массовые числа равны 222 и 4 соответственно. $$m_{\text{Rn}} \gg m_{\alpha}$$

Следовательно, кинетическая энергия более легкой α-частицы будет значительно больше кинетической энергии тяжелого ядра радона. Найдем их отношение: $$\frac{E_{k, \alpha}}{E_{k, \text{Rn}}} = \frac{p^2 / (2m_{\alpha})}{p^2 / (2m_{\text{Rn}})} = \frac{m_{\text{Rn}}}{m_{\alpha}}$$

Отношение масс можно приближенно считать равным отношению их массовых чисел: $$\frac{E_{k, \alpha}}{E_{k, \text{Rn}}} \approx \frac{A_{\text{Rn}}}{A_{\alpha}} = \frac{222}{4} = 55.5$$

Ответ: Кинетическая энергия α-частицы значительно больше кинетической энергии ядра радона. Отношение кинетической энергии α-частицы к кинетической энергии ядра радона обратно пропорционально отношению их масс и приблизительно равно 55.5.

1201. Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время, равное половине периода полураспада?

Дано:

$t = \frac{T}{2}$
где $t$ — время, в течение которого происходит распад, $T$ — период полураспада.

Найти:

Долю распавшихся ядер, $\frac{\Delta N}{N_0}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Сначала найдем долю оставшихся (нераспавшихся) ядер. Для этого разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-t/T}$

Подставим в это выражение время, заданное в условии задачи, $t = \frac{T}{2}$:

$\frac{N(T/2)}{N_0} = 2^{-(T/2)/T} = 2^{-1/2} = \frac{1}{2^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это доля ядер, которые еще не распались.

Нас интересует доля распавшихся ядер. Она равна единице минус доля оставшихся ядер. Если $\Delta N$ — это число распавшихся ядер, то оно равно $\Delta N = N_0 - N(t)$. Тогда искомая доля:

$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - \frac{N(t)}{N_0}$

Подставим найденное значение для доли оставшихся ядер:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для получения численного значения, можно вычислить приближенное значение выражения:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 - \frac{1}{1.414} \approx 1 - 0.707 = 0.293$

Это означает, что за половину периода полураспада распадается примерно 29,3% от начального числа ядер.

Ответ: доля распавшихся ядер составляет $1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$, что примерно равно 0,293 или 29,3%.

1202. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 8 суток. Найти период полураспада.

Дано:

Время $t = 8$ суток
Уменьшение активности $\frac{A_0}{A} = 4$

Найти:

Период полураспада $T$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает активность элемента $A$ в момент времени $t$ с его начальной активностью $A_0$ и периодом полураспада $T$ следующей формулой: $A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Из условия задачи известно, что активность уменьшилась в 4 раза за 8 суток. Это можно записать как: $A = \frac{A_0}{4}$

Подставим это соотношение в закон радиоактивного распада: $\frac{A_0}{4} = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Сократим $A_0$ в обеих частях уравнения: $\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Мы знаем, что $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$. Следовательно, мы можем переписать уравнение в виде: $2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Поскольку основания степеней одинаковы (равны 2), мы можем приравнять их показатели: $-2 = -\frac{t}{T}$

Умножив обе части на -1, получим: $2 = \frac{t}{T}$

Теперь выразим период полураспада $T$: $T = \frac{t}{2}$

Подставим в полученную формулу значение времени $t = 8$ суток: $T = \frac{8 \text{ суток}}{2} = 4 \text{ суток}$

Ответ: период полураспада равен 4 суткам.

1203. Сколько процентов ядер радиоактивного иода ${}^{131}_{53}I$ с периодом полураспада $T = 8$ суток останется через 16 суток?

Дано:

Период полураспада радиоактивного иода $_{53}^{131}\textrm{I}$, $T = 8$ суток

Время, в течение которого происходит распад, $t = 16$ суток

$T = 8 \text{ суток} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

$t = 16 \text{ суток} = 16 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 1382400 \text{ с}$

Поскольку в формуле используется отношение времени к периоду полураспада, перевод в систему СИ не является обязательным, так как единицы измерения (сутки) сокращаются.

Найти:

Процент оставшихся ядер от начального количества, $\frac{N}{N_0} \cdot 100\%$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T$. Формула имеет вид:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Чтобы найти долю оставшихся ядер $\frac{N}{N_0}$, преобразуем формулу:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Подставим в это соотношение данные из условия задачи:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{16 \text{ суток}}{8 \text{ суток}}}$

$\frac{N}{N_0} = 2^{-2}$

Вычислим значение степени:

$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$

Это означает, что через 16 суток останется 0.25 от первоначального количества ядер. Чтобы выразить этот результат в процентах, нужно умножить полученную долю на 100%:

$0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Таким образом, за время, равное двум периодам полураспада, количество ядер уменьшится в 4 раза.

Ответ: через 16 суток останется 25% ядер радиоактивного иода.

1204. Каков состав ядер натрия $^{\text{23}}_{\text{11}}\text{Na}$, фтора $^{\text{19}}_{\text{9}}\text{F}$, серебра $^{\text{107}}_{\text{47}}\text{Ag}$, кюрия $^{\text{247}}_{\text{96}}\text{Cm}$, менделевия $^{\text{257}}_{\text{101}}\text{Md}$?

Дано:

Изотоп натрия: $_{11}^{23}$Na
Изотоп фтора: $_{9}^{19}$F
Изотоп серебра: $_{47}^{107}$Ag
Изотоп кюрия: $_{96}^{247}$Cm
Изотоп менделевия: $_{101}^{257}$Md

Данные представлены в стандартной форме, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Состав ядер (число протонов $N_p$ и нейтронов $N_n$) для каждого изотопа.

Решение:

Состав атомного ядра определяется количеством протонов и нейтронов, содержащихся в нем. В общепринятом обозначении изотопа химического элемента $^A_Z$X, где X — символ элемента, $A$ — массовое число (общее число протонов и нейтронов, т.е. нуклонов), а $Z$ — зарядовое число (порядковый номер элемента в таблице Менделеева, равный числу протонов в ядре).

Число протонов $N_p$ в ядре равно зарядовому числу $Z$: $N_p = Z$

Число нейтронов $N_n$ в ядре можно рассчитать как разность между массовым числом $A$ и числом протонов $Z$: $N_n = A - Z$

Рассчитаем состав для каждого из указанных ядер.

натрия $_{11}^{23}$Na
Массовое число $A = 23$.
Зарядовое число $Z = 11$.
Число протонов: $N_p = Z = 11$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 23 - 11 = 12$.

Ответ: Ядро натрия $_{11}^{23}$Na состоит из 11 протонов и 12 нейтронов.

фтора $_{9}^{19}$F
Массовое число $A = 19$.
Зарядовое число $Z = 9$.
Число протонов: $N_p = Z = 9$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 19 - 9 = 10$.

Ответ: Ядро фтора $_{9}^{19}$F состоит из 9 протонов и 10 нейтронов.

серебра $_{47}^{107}$Ag
Массовое число $A = 107$.
Зарядовое число $Z = 47$.
Число протонов: $N_p = Z = 47$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 107 - 47 = 60$.

Ответ: Ядро серебра $_{47}^{107}$Ag состоит из 47 протонов и 60 нейтронов.

кюрия $_{96}^{247}$Cm
Массовое число $A = 247$.
Зарядовое число $Z = 96$.
Число протонов: $N_p = Z = 96$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 247 - 96 = 151$.

Ответ: Ядро кюрия $_{96}^{247}$Cm состоит из 96 протонов и 151 нейтрона.

менделевия $_{101}^{257}$Md
Массовое число $A = 257$.
Зарядовое число $Z = 101$.
Число протонов: $N_p = Z = 101$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 257 - 101 = 156$.

Ответ: Ядро менделевия $_{101}^{257}$Md состоит из 101 протона и 156 нейтронов.

1205. Каков состав изотопов неона $^\text{20}_\text{10}\text{Ne}$, $^\text{21}_\text{10}\text{Ne}$ и $^\text{22}_\text{10}\text{Ne}$?

Дано:

Изотопы неона: $^{20}_{10}\text{Ne}$, $^{21}_{10}\text{Ne}$, $^{22}_{10}\text{Ne}$.

Найти:

Состав ядра (число протонов $Z$ и число нейтронов $N$) для каждого изотопа.

Решение:

Состав атомного ядра определяется количеством протонов и нейтронов, которые оно содержит. В стандартном обозначении изотопа $^A_Z\text{X}$:

• $Z$ (нижний индекс) — это зарядовое число, которое равно количеству протонов в ядре.
• $A$ (верхний индекс) — это массовое число, равное общему числу протонов и нейтронов в ядре.

Число нейтронов $N$ можно вычислить как разность между массовым и зарядовым числами: $N = A - Z$.

Все изотопы одного химического элемента имеют одинаковое количество протонов, но разное количество нейтронов. Для неона ($Ne$) порядковый номер в периодической таблице Менделеева равен 10, следовательно, ядро любого изотопа неона содержит $Z=10$ протонов.

$^{20}_{10}\text{Ne}$

Для этого изотопа массовое число $A = 20$, а зарядовое число $Z = 10$.
Число протонов равно зарядовому числу: $Z = 10$.
Число нейтронов находим по формуле: $N = A - Z = 20 - 10 = 10$.

Ответ: ядро изотопа $^{20}_{10}\text{Ne}$ состоит из 10 протонов и 10 нейтронов.

$^{21}_{10}\text{Ne}$

Для этого изотопа массовое число $A = 21$, а зарядовое число $Z = 10$.
Число протонов: $Z = 10$.
Число нейтронов: $N = A - Z = 21 - 10 = 11$.

Ответ: ядро изотопа $^{21}_{10}\text{Ne}$ состоит из 10 протонов и 11 нейтронов.

$^{22}_{10}\text{Ne}$

Для этого изотопа массовое число $A = 22$, а зарядовое число $Z = 10$.
Число протонов: $Z = 10$.
Число нейтронов: $N = A - Z = 22 - 10 = 12$.

Ответ: ядро изотопа $^{22}_{10}\text{Ne}$ состоит из 10 протонов и 12 нейтронов.

1206. Изменяются ли массовое число, масса и порядковый номер элемента при испускании ядром $\gamma$-кванта?

Решение

Гамма-распад (испускание γ-кванта) — это процесс, при котором атомное ядро, находящееся в возбужденном (то есть обладающем избыточной энергией) состоянии, переходит в состояние с меньшей энергией. Избыток энергии излучается в виде гамма-кванта — фотона высокой энергии. Этот процесс можно описать следующим уравнением:

$$ {_Z^A}X^* \rightarrow {_Z^A}X + \gamma $$

Здесь ${_Z^A}X^*$ — ядро химического элемента X с массовым числом A и зарядом (порядковым номером) Z в возбужденном состоянии. ${_Z^A}X$ — то же ядро в более стабильном состоянии. $\gamma$ — испущенный гамма-квант.

Рассмотрим, как этот процесс влияет на каждую из указанных характеристик.

Массовое число

Массовое число A равно общему числу протонов и нейтронов в ядре. Гамма-квант является фотоном, он не содержит ни протонов, ни нейтронов. Следовательно, при его испускании состав ядра (число протонов и нейтронов) не меняется. Таким образом, массовое число ядра остается неизменным.

Ответ: массовое число не изменяется.

Порядковый номер элемента

Порядковый номер Z элемента определяется числом протонов в ядре. Гамма-квант не имеет электрического заряда, поэтому его испускание не изменяет число протонов в ядре. Так как порядковый номер не меняется, химический элемент остается тем же самым.

Ответ: порядковый номер элемента не изменяется.

Масса

В отличие от массового числа, реальная масса ядра изменяется. Согласно принципу эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, выраженному формулой $E=mc^2$, энергия обладает массой. Возбужденное ядро ${_Z^A}X^*$ имеет большую энергию, а следовательно, и большую массу, чем ядро в основном состоянии ${_Z^A}X$. Разница в энергиях $\Delta E$ уносится гамма-квантом. Эта потеря энергии соответствует уменьшению массы ядра на величину $\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$. Хотя это изменение массы очень мало, оно отлично от нуля.

Ответ: масса ядра уменьшается.

1207. Как изменяются массовое число и номер элемента при выбрасывании из ядра протона; нейтрона?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения массового числа и номера элемента (зарядового числа).

• Массовое число ($A$) — это общее количество нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре атома.
• Номер элемента (или зарядовое число $Z$) — это количество протонов в ядре. Именно зарядовое число определяет, какой это химический элемент.

Рассмотрим, как изменятся эти характеристики для каждого случая.

при выбрасывании из ядра протона

Пусть исходное ядро химического элемента $X$ имеет массовое число $A$ и зарядовое число $Z$. Его стандартное обозначение — $^A_Z X$. Протон обозначается как $^1_1p$, он имеет массовое число, равное 1, и заряд, равный +1.

При выбрасывании из ядра одного протона происходят следующие изменения:

1. Общее число нуклонов (массовое число) уменьшается на единицу, так как ядро покинул один нуклон (протон). Новое массовое число $A'$:
   $A' = A - 1$
2. Число протонов (зарядовое число) также уменьшается на единицу. Новое зарядовое число $Z'$:
   $Z' = Z - 1$

Поскольку зарядовое число изменилось, исходный элемент превращается в новый элемент $Y$, который в периодической таблице Менделеева расположен на одну позицию левее исходного. Ядерная реакция этого процесса выглядит так:
$^A_Z X \rightarrow ^{A-1}_{Z-1} Y + ^1_1p$

Ответ: при выбрасывании из ядра протона массовое число уменьшается на 1, и номер элемента (зарядовое число) также уменьшается на 1.

при выбрасывании из ядра нейтрона

Рассмотрим то же исходное ядро $^A_Z X$. Нейтрон обозначается как $^1_0n$, он имеет массовое число, равное 1, и заряд, равный 0.

При выбрасывании из ядра одного нейтрона происходят следующие изменения:

1. Общее число нуклонов (массовое число) уменьшается на единицу, так как ядро покинул один нуклон (нейтрон). Новое массовое число $A'$:
   $A' = A - 1$
2. Число протонов (зарядовое число) не изменяется, так как нейтрон является электрически нейтральной частицей. Новое зарядовое число $Z'$ равно исходному:
   $Z' = Z$

Поскольку зарядовое число не изменилось, химический элемент остался тем же. В результате образуется изотоп исходного элемента, но с меньшим массовым числом. Ядерная реакция этого процесса:
$^A_Z X \rightarrow ^{A-1}_Z X + ^1_0n$

Ответ: при выбрасывании из ядра нейтрона массовое число уменьшается на 1, а номер элемента (зарядовое число) не изменяется.