Страница 163 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1241. Поглощая фотон $\gamma$-излучения ($\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м), дейтрон распадается на протон и нейтрон. Вычислить суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц.

Дано:

Длина волны поглощенного фотона $\gamma$-излучения $\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м.

Все данные представлены в системе СИ. Для решения также потребуются справочные значения физических констант:

Постоянная Планка: $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3,00 \cdot 10^8$ м/с

Масса протона: $m_p \approx 1,67262 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,67493 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса дейтрона (ядра дейтерия): $m_d \approx 3,34358 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

Суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц (протона и нейтрона) $K_{sum}$.

Решение:

Процесс распада дейтрона под действием $\gamma$-кванта, известный как фоторасщепление, описывается следующей ядерной реакцией:

$$ d + \gamma \rightarrow p + n $$

где $d$ - дейтрон (ядро атома дейтерия $^2_1H$), $\gamma$ - гамма-квант (фотон), $p$ - протон, $n$ - нейтрон.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции должна быть равна полной энергии системы после реакции. Будем считать, что дейтрон до поглощения фотона находился в состоянии покоя, то есть его начальная кинетическая энергия равна нулю. В этом случае закон сохранения энергии можно записать в виде:

$$ E_{\gamma} + m_d c^2 = m_p c^2 + m_n c^2 + K_{sum} $$

Здесь $E_{\gamma}$ - энергия поглощенного фотона, $m_d c^2$, $m_p c^2$, $m_n c^2$ - это энергии покоя дейтрона, протона и нейтрона соответственно, а $K_{sum} = K_p + K_n$ - искомая суммарная кинетическая энергия протона и нейтрона после распада.

Выразим $K_{sum}$ из этого уравнения:

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - (m_p c^2 + m_n c^2 - m_d c^2) $$

Выражение в скобках представляет собой энергию связи ядра дейтрона $E_{св}$. Энергия связи - это минимальная энергия, которую необходимо сообщить ядру, чтобы разделить его на составляющие его нуклоны.

$$ E_{св} = (m_p + m_n - m_d)c^2 = \Delta m \cdot c^2 $$

где $\Delta m$ - дефект масс. Таким образом, суммарная кинетическая энергия продуктов распада равна избытку энергии фотона над энергией связи дейтрона.

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - E_{св} $$

Для нахождения ответа выполним вычисления в три этапа.

1. Вычисление энергии фотона ($E_{\gamma}$)

Энергия фотона связана с его длиной волны формулой Планка:

$$ E_{\gamma} = \frac{hc}{\lambda} $$

Подставим числовые значения:

$$ E_{\gamma} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4,7 \cdot 10^{-13} \text{ м}} = \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{4,7 \cdot 10^{-13}} \text{ Дж} \approx 4,229 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

2. Вычисление энергии связи дейтрона ($E_{св}$)

Сначала найдем дефект масс $\Delta m$:

$$ \Delta m = m_p + m_n - m_d $$

$$ \Delta m = (1,67262 \cdot 10^{-27} + 1,67493 \cdot 10^{-27} - 3,34358 \cdot 10^{-27}) \text{ кг} = 0,00397 \cdot 10^{-27} \text{ кг} $$

Теперь найдем энергию связи, умножив дефект масс на квадрат скорости света:

$$ E_{св} = \Delta m c^2 = 0,00397 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 $$

$$ E_{св} = 0,00397 \cdot 10^{-27} \cdot 9,00 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 3,573 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

3. Вычисление суммарной кинетической энергии ($K_{sum}$)

Теперь мы можем найти искомую энергию как разность энергии фотона и энергии связи:

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - E_{св} = 4,229 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} - 3,573 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 0,656 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м):

$$ K_{sum} \approx 0,66 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 6,6 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} $$

Ответ: $K_{sum} \approx 6,6 \cdot 10^{-14}$ Дж.

1242. При аннигиляции электрона и позитрона образовалось два одинаковых $\gamma$-кванта. Найти длину волны, пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции.

Дано:

Процесс: аннигиляция электрона ($e^-$) и позитрона ($e^+$).
Продукты реакции: два одинаковых $\gamma$-кванта.
Начальная кинетическая энергия частиц: $E_k \approx 0$.
Масса покоя электрона (и позитрона): $m_e = 9,109 \times 10^{-31}$ кг.
Постоянная Планка: $h = 6,626 \times 10^{-34}$ Дж·с.
Скорость света в вакууме: $c = 2,998 \times 10^8$ м/с.

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Длину волны $\gamma$-кванта $\lambda$.

Решение:

Аннигиляция электрона и позитрона — это процесс, при котором их масса полностью преобразуется в энергию электромагнитного излучения (в данном случае, в два гамма-кванта) в соответствии с законами сохранения энергии и импульса.

Поскольку по условию задачи начальной кинетической энергией частиц можно пренебречь, они считаются покоящимися. Следовательно, начальный импульс системы электрон-позитрон равен нулю. По закону сохранения импульса, суммарный импульс образовавшихся гамма-квантов также должен быть равен нулю. Это возможно только если два гамма-кванта разлетаются в противоположных направлениях с одинаковыми по величине импульсами. Равенство модулей импульсов означает и равенство их энергий, что соответствует условию задачи.

Теперь применим закон сохранения энергии. Полная энергия системы до реакции равна сумме энергий покоя электрона и позитрона. Энергия покоя каждой частицы определяется формулой Эйнштейна: $E_0 = mc^2$.

Полная энергия до реакции:

$E_{до} = E_{e^-} + E_{e^+} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

После аннигиляции образуются два $\gamma$-кванта с одинаковой энергией $E_\gamma$. Полная энергия системы после реакции:

$E_{после} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2} = E_\gamma + E_\gamma = 2E_\gamma$

Из закона сохранения энергии $E_{до} = E_{после}$:

$2m_e c^2 = 2E_\gamma$

Отсюда находим, что энергия каждого гамма-кванта равна энергии покоя электрона:

$E_\gamma = m_e c^2$

Энергия фотона ($ \gamma $-кванта) связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением Планка:

$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка.

Приравнивая два выражения для энергии $E_\gamma$, получаем уравнение для нахождения длины волны:

$m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda}$

Выразим отсюда искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона. Подставим числовые значения физических констант в СИ:

$\lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9,109 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 2,998 \times 10^8 \text{ м/с}} \approx 2,426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем: $\lambda \approx 2,43 \times 10^{-12} \text{ м}$. Это значение также можно выразить в пикометрах: $2,43 \text{ пм}$.

Ответ: $\lambda \approx 2,43 \times 10^{-12} \text{ м}$.

1243. Элементарная частица пи-нуль-мезон ($ \pi^0 $) распадается на два $ \gamma $-кванта. Найти частоту $ \gamma $-излучения, если масса покоя этой частицы равна 264,3 массы электрона.

Дано:

Масса покоя пи-нуль-мезона: $m_{\pi^0} = 264.3 \cdot m_e$

Масса покоя электрона: $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Частоту $\gamma$-излучения: $\nu$

Решение:

Распад элементарной частицы пи-нуль-мезона ($\pi^0$) на два $\gamma$-кванта происходит по схеме:

$\pi^0 \rightarrow \gamma + \gamma$

При этом распаде действуют законы сохранения энергии и импульса. Так как пи-нуль-мезон по условию покоится, его начальный импульс равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс двух образовавшихся $\gamma$-квантов также должен быть равен нулю. Это возможно только в том случае, если они разлетаются в противоположных направлениях с равными по модулю импульсами. Равенство импульсов означает и равенство их энергий.

Таким образом, энергия каждого $\gamma$-кванта одинакова: $E_{\gamma1} = E_{\gamma2} = E_{\gamma}$.

Согласно закону сохранения энергии, энергия покоя пи-нуль-мезона $E_{\pi^0}$ переходит в суммарную энергию двух $\gamma$-квантов:

$E_{\pi^0} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2} = 2E_{\gamma}$

Энергия покоя пи-нуль-мезона вычисляется по формуле Эйнштейна:

$E_{\pi^0} = m_{\pi^0} c^2$

Энергия $\gamma$-кванта (фотона) связана с его частотой $\nu$ соотношением Планка:

$E_{\gamma} = h\nu$

Объединим эти формулы:

$m_{\pi^0} c^2 = 2h\nu$

Выразим отсюда искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{m_{\pi^0} c^2}{2h}$

Подставим в эту формулу заданное значение массы пи-нуль-мезона $m_{\pi^0} = 264.3 \cdot m_e$:

$\nu = \frac{264.3 \cdot m_e \cdot c^2}{2h}$

Теперь подставим числовые значения констант и выполним вычисления:

$\nu = \frac{264.3 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с})}$

$\nu = \frac{264.3 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{13.252 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц}$

$\nu = \frac{21669.957 \cdot 10^{-15}}{1.3252 \cdot 10^{-33}} \text{ Гц} = \frac{2.167 \cdot 10^{-11}}{1.3252 \cdot 10^{-33}} \text{ Гц}$

$\nu \approx 1.635 \cdot 10^{22} \text{ Гц}$

Ответ: частота $\gamma$-излучения равна $1.635 \cdot 10^{22}$ Гц.