Номер 1242, страница 163 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1242. При аннигиляции электрона и позитрона образовалось два одинаковых $\gamma$-кванта. Найти длину волны, пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции.

Дано:

Процесс: аннигиляция электрона ($e^-$) и позитрона ($e^+$).
Продукты реакции: два одинаковых $\gamma$-кванта.
Начальная кинетическая энергия частиц: $E_k \approx 0$.
Масса покоя электрона (и позитрона): $m_e = 9,109 \times 10^{-31}$ кг.
Постоянная Планка: $h = 6,626 \times 10^{-34}$ Дж·с.
Скорость света в вакууме: $c = 2,998 \times 10^8$ м/с.

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Длину волны $\gamma$-кванта $\lambda$.

Решение:

Аннигиляция электрона и позитрона — это процесс, при котором их масса полностью преобразуется в энергию электромагнитного излучения (в данном случае, в два гамма-кванта) в соответствии с законами сохранения энергии и импульса.

Поскольку по условию задачи начальной кинетической энергией частиц можно пренебречь, они считаются покоящимися. Следовательно, начальный импульс системы электрон-позитрон равен нулю. По закону сохранения импульса, суммарный импульс образовавшихся гамма-квантов также должен быть равен нулю. Это возможно только если два гамма-кванта разлетаются в противоположных направлениях с одинаковыми по величине импульсами. Равенство модулей импульсов означает и равенство их энергий, что соответствует условию задачи.

Теперь применим закон сохранения энергии. Полная энергия системы до реакции равна сумме энергий покоя электрона и позитрона. Энергия покоя каждой частицы определяется формулой Эйнштейна: $E_0 = mc^2$.

Полная энергия до реакции:

$E_{до} = E_{e^-} + E_{e^+} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

После аннигиляции образуются два $\gamma$-кванта с одинаковой энергией $E_\gamma$. Полная энергия системы после реакции:

$E_{после} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2} = E_\gamma + E_\gamma = 2E_\gamma$

Из закона сохранения энергии $E_{до} = E_{после}$:

$2m_e c^2 = 2E_\gamma$

Отсюда находим, что энергия каждого гамма-кванта равна энергии покоя электрона:

$E_\gamma = m_e c^2$

Энергия фотона ($ \gamma $-кванта) связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением Планка:

$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка.

Приравнивая два выражения для энергии $E_\gamma$, получаем уравнение для нахождения длины волны:

$m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda}$

Выразим отсюда искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона. Подставим числовые значения физических констант в СИ:

$\lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9,109 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 2,998 \times 10^8 \text{ м/с}} \approx 2,426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем: $\lambda \approx 2,43 \times 10^{-12} \text{ м}$. Это значение также можно выразить в пикометрах: $2,43 \text{ пм}$.

Ответ: $\lambda \approx 2,43 \times 10^{-12} \text{ м}$.