Номер 1238, страница 162 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1238*. В установках для $\gamma$-облучения в сельском хозяйстве используется $\beta$-радиоактивный изотоп цезия $^{\text{137}}_{\text{55}}\text{Cs}$. Написать реакцию $\beta$-распада. Найти максимальную частоту $\gamma$-излучения, если наибольшая энергия $\gamma$-квантов равна $0,66 \text{ МэВ}$. Вычислить релятивистскую скорость $\beta$-частиц, если их энергия $1,18 \text{ МэВ}$.

Написать реакцию β-распада.

При β⁻-распаде один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон ($^{0}_{-1}e$, β-частица) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$). В результате зарядовое число Z ядра-родителя увеличивается на единицу, а массовое число A остается неизменным. Для изотопа цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$ дочерним ядром является барий $^{137}_{56}\text{Ba}$.

Реакция β-распада записывается следующим образом:

$$^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$

Гамма-излучение, упомянутое в задаче, возникает потому, что дочернее ядро бария-137 чаще всего образуется в возбужденном (метастабильном) состоянии, которое затем переходит в основное, испуская γ-квант.

Ответ: $^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$.

Найти максимальную частоту γ-излучения.

Дано:

Наибольшая энергия γ-квантов, $E_\gamma = 0.66 \text{ МэВ}$

Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в СИ:

$E_\gamma = 0.66 \text{ МэВ} = 0.66 \times 10^6 \text{ эВ} = 0.66 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.057 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Максимальная частота γ-излучения, $ν_{max} - ?$

Решение:

Энергия γ-кванта связана с его частотой $ν$ формулой Планка. Для максимальной энергии частота также будет максимальной:

$$E_\gamma = h \nu_{max}$$

Выражаем искомую частоту:

$$\nu_{max} = \frac{E_\gamma}{h}$$

Подставляем значения в системе СИ:

$$\nu_{max} = \frac{1.057 \times 10^{-13} \text{ Дж}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} \approx 0.1595 \times 10^{21} \text{ Гц} \approx 1.59 \times 10^{20} \text{ Гц}$$

Ответ: Максимальная частота γ-излучения составляет примерно $1.59 \times 10^{20} \text{ Гц}$.

Вычислить релятивистскую скорость β-частиц.

Дано:

Энергия β-частиц (электронов), $E_\beta = 1.18 \text{ МэВ}$

Энергия покоя электрона, $E_0 = m_e c^2 \approx 0.511 \text{ МэВ}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Так как данная энергия β-частицы ($1.18 \text{ МэВ}$) значительно превышает ее энергию покоя ($0.511 \text{ МэВ}$), под этой энергией подразумевается кинетическая энергия $E_k$.

Найти:

Релятивистская скорость β-частиц, $v - ?$

Решение:

Релятивистская кинетическая энергия $E_k$ связана с полной энергией частицы $E$ и ее энергией покоя $E_0$ соотношением $E_k = E - E_0$. Полная энергия выражается через Лоренц-фактор $\gamma$ как $E = \gamma E_0$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Следовательно, кинетическая энергия равна:

$$E_k = (\gamma - 1) E_0$$

Сначала найдем Лоренц-фактор, выразив его из формулы выше. Для удобства будем использовать энергии, выраженные в МэВ:

$$\gamma = \frac{E_k}{E_0} + 1$$

$$\gamma = \frac{1.18 \text{ МэВ}}{0.511 \text{ МэВ}} + 1 \approx 2.309 + 1 = 3.309$$

Теперь, зная Лоренц-фактор, можно найти скорость $v$ из его определения:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \implies \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$$

Отсюда выражаем скорость:

$$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$$

Подставляем численное значение $\gamma$:

$$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{3.309^2}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{10.95}} \approx c\sqrt{1 - 0.0913} = c\sqrt{0.9087} \approx 0.953c$$

Численное значение скорости в м/с:

$$v \approx 0.953 \times (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.86 \times 10^8 \text{ м/с}$$

Ответ: Релятивистская скорость β-частиц равна примерно $2.86 \times 10^8 \text{ м/с}$ (что составляет около $95.3\%$ от скорости света).